Equacoes diferenciais ordinarias

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Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 2ª Ordem
Problemas de Valores de Fronteira (PVF)
Definição
Seja a E.D.O. de 2ª ordem:
F ( x , y , y' , y" ) = 0

(1)

cuja solução é dada por y = y(x) num intervalo [a, b]. O chamado problema de valor de
fronteira (PVF) é definido quando temos que encontrar a solução da E.D.O. de 2ª ordem (1)
que satisfaça as condições de contorno ou defronteira:

 y (a ) = y a

 y (b ) = yb

(2)

Embora o PVF seja descrito por uma E.D.O., ele difere do Problema de Valor Inicial
(PVI) pelo fato de descrever a solução no extremo superior do intervalo de integração [a, b];
isto faz com que os métodos numéricos descritos para solução de PVI não possam ser
utilizados na solução de PVF.
Um exemplo da diferença entre o PVI e o PVF é oproblema de cálculo de uma viga,
mostrado na figura 1. Nos dois problemas, a equação cujo cálculo fornece a deflexão y(x) é
descrita pela equação diferencial de 2ª ordem:

y" =

d2y
dx 2

=

[

]

3/ 2
M ( x)
1 + ( y' )2
EI

(3)

na qual M(x) é o momento de flexão e EI o produto do módulo de Young pelo momento de
inércia da viga.
W

y
0

y
0

W

x

EI
x
L

EI

L(a)
(b)
Fig. 1. (a) Viga engastada com extremidade livre em x = L; (b) viga simplesmente apoiada
em x = 0 e em x = L.
No problema da viga engastada, as condições iniciais são descritas pelas equações:
y(0) = 0 e y’(0) = 0, ou seja, as condições são descritas na extremidade engastada na qual é
conhecida, a deflexão e a sua derivada; a partir destas condições iniciais, a solução paradeflexão y nos outros pontos da viga até x = L pode ser calculada por métodos de RungeKutta, por exemplo. No problema da viga simplesmente apoiada, as condições de contorno
são descritas nas fronteiras do problema, isto é, y(0) = 0 e y(L) = 0. Desta forma, sendo

1

conhecida a solução da equação diferencial (3) em x = L, impede que o mesmo método
numérico aplicado ao problema anterior possaser utilizado aqui.

Equação Diferencial Ordinária de 2ª Ordem Linear
Um caso particular de uso geral é quando a equação (1) e as condições de contorno (2)
são lineares em relação à variável y. Tal problema de valor de fronteira é denominado
Problema de Valor de Fronteira Linear. Neste caso, a equação (1) pode ser escrita como:
y" + p( x) y' + q ( x) y = f ( x)

(4)

na qual p(x), q(x),f(x) são funções conhecidas e contínuas no intervalo [a, b].
As equações (2) garantem que as condições de contorno sejam estabelecidas na
fronteira do intervalo [a, b]. Se ya = yb = 0, as condições de contorno (2) são chamadas de
condições de contorno homogêneas.
Para resolver o PVF um dos métodos numéricos mais utilizados é o chamado Método
das Diferenças Finitas, que será apresentado aseguir.

Método das Diferenças Finitas (MDF)
O MDF é baseado na aproximação da diferencial exata pela diferença finita dividida
de acordo com os esquemas estabelecidos no método de interpolação polinomial de Newton:

Diferença finita de 1ª ordem regressiva
No esquema de diferença finita dividida de 1ª ordem regressiva, a derivada primeira
pode ser aproximada por:
y − yi −1 yi − yi −1
dy
(5)= y' ( xi −1 ) ≈ i
=
dx x= xi −1
xi − xi −1
h
Neste esquema, a derivada é calculada utilizando-se dois valores da função y(x) para
obter a derivada em x = xi-1. O erro de truncamento neste método é dado por: eT = O(h ) , ou
seja, o erro de truncamento é de primeira ordem em h.

Diferença finita de 1ª ordem progressiva
No esquema de diferença finita dividida de 1ª ordem progressiva, aderivada primeira
pode ser aproximada por:
dy
dx

x = xi

= y' ( xi ) ≈

yi − yi −1 yi − yi −1
=
xi − xi −1
h

(6)

Neste esquema, a derivada é calculada pela mesma equação (5) do esquema
regressivo, porém obtém-se a derivada em x = xi. Como as equações (5) e (6) são idênticas, o
erro de truncamento neste método também é expresso por: eT = O(h ) .
Como o erro de truncamento é de...
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