Equaçoes diferenciais ordinarias

INTRODUÇÃO

Muitos fenómenos nas áreas das engenharias, são modelados por equações diferenciais. Quero determinar a posição de um corpo em movimento, e que apenas se conhece a sua velocidade ou a sua aceleração. No fundo, quer determinar-se uma função desconhecida, utilizando certos dados, relacionados por uma equação que contém, pelo menos, uma das derivadas dessa função. Estas equações chamam-se equações às derivadas ou equações diferenciais.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA: Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é onde é uma função desconhecida, e a sua derivada.
Uma equação diferencial ordinária é uma equação que envolve
.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.
Exemplos:
y' = 2x tem ordem 1 e grau 1 y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3 y"'+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3
RESOLUÇÃO
A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).
Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1 dy = (3x2 - 4x + 1) dx dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N
Uma equação diferencial linear de ordem n é da forma: fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x) onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x. CLASSIFICAÇÕES:
Equação linear homogênea (k(x) = 0), ou equação linear não-homogênea (k(x) 0).
Equação linear: de coeficientes constantes ( f0, f1, f2, ..., fn constantes) de coeficientes variáveis (pelo menos um fi variável)
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS
Se P e Q têm derivadas parciais