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Electromagnestimo e Óptica

Algebra vectorial
Alfabeto grego
α
β
γ
δ
ε
ζ
ι
η

Α
Β
Γ

Ε
Ζ
Ι
Η

Alfa
Beta
Gama
Delta
Épsilon
Zeta
Iota
Eta

θ
κ
λ
µ
ν
ξ
ο
π

Θ
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π

Teta
Capa
Lambda
Mi ou Mu
Ni ou Nu
Csi
Ómicron
Pi

ρ
σ
τ
τυ
φ
χ
ψ
ω

Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ



Sigma
Tau
Upsilon
Fi
Qui
Psi
Ómega

Vectores
1.Estabeleça o angulo entre os vectores OA e OB , sendo O a origem do sistema de
referência e os pontos A e B, respectivamente (3,4) e (6,0).

Solução:
OA = (3, 4) − (0, 0) = (3, 4)
OB = (6, 0) − (0, 0) = (6, 0)

Da Matemática, o produto interno entre quaisquer dois vectores OA e OB é dado por:
OA ⋅ OB = OA OB cos ∀(OA, OB) .

Por outro lado, se as coordenadas cartesianas dos doisvectores forem conhecidas, também
podemos obter o produto interno dos dois vectores multiplicando as respectivas componentes
x , e as respectivas componentes y, e somando:
OA ⋅ OB = 3 × 6 + 4 × 0 = 18 .

Uma vez que a grandeza de qualquer vector é a raiz quadrada do seu próprio produto interno:
OA = OA ⋅ OA = 32 + 42 = 5

OB = OB ⋅ OB = 62 + 02 = 6
cos ∀(OA, OB) =

18
= 0, 6
5× 6

∀(OA,OB) = cos −1 0, 6 = 53º.
2

Electromagnestimo e Óptica

2.

Determine o vector M , cuja origem é o ponto P(x1,y1,z1)
Q(x2,y2,z2). Determine ainda a norma do vector M .

3.

Dados os vectores r 1 = 3 i -2 j +3 k , r 2 = 2 i –4 j -3 k , r 3 = - i +2 j +2 k detemine o
módulo e a direcção do vector r = 2 r 1-3 r 2-5 r 3.

4.

Dados os vectores r 1 = 2 i - j + k , r 2 = i +3 j -2 k ,r 3 = -2 i + j -3 k

e a extremidade oponto

e

r 4 = 3 i +2 j +5 k determine os escalares a, b e c de modo a que r 4 = a r 1+b r 2+c r 3.

5.

Os pontos P e Q têm coordenadas cartesianas (2,0,3) e (1,4,-1), respectivamente:
a) Quais são os vectores posição de P e Q relativamente à origem?
b) Qual o vector posição de Q relativamente a P?
c) Determine a intensidade e os cossenosdirectores de PQ , e o ângulo entre PQ e a
direcção do eixo x.

Produtos de vectores
6.

Considerando A =A1 i +A2 j +A3 k e B =B1 i +B2 j +B3 k , demonstre que:
A.B=B. A e

A^B= -B^A.

Solução:

A = ( A1 , A2 , A3 )

B = ( B1 , B 2 , B3 )

A ⋅ B = A1B1 + A2 B 2 + A3 B3
B ⋅ A = B1 A1 + B 2 A2 + B3 A3 = A ⋅ B
ˆ
i
A ∧ B = A1
B1

ˆ
j
A2
B2

ˆ
k
A3
B3

= ( A2 B3 − A3 B 2, A3 B1 − A1 B3 , A1 B 2 − A2 B1 )

3

Electromagnestimo e Óptica


B ∧ A = B1
A1

ˆ
j
B2
A2

ˆ
k
B3
A3

= ( B 2 A3 − B3 A2 , B 3 A1 − B1 A3 , B1 A2 − B 2 A1 )
= −( A2 B 3 − A3 B 2 , A3 B1 − A1 B3 , A1 B 2 − A2 B1 )
= − A ∧ B.
7.

Sabendo que A = 2 i +3 j +10 k , e B = 5 i +10 j +15 k , determine os seguintes
produtos:
a) A . B ; b)4 A . B ; c) A ^ B ;
d)3 A ^ Be)( A + B )^( A - B );

8.

Calcule o vector unitário perpendicular ao plano definido pelos vectores A e B sabendo
que que A = 2 i -6 j -3 k , e B = 4 i +3 j - k .

Solução:

Começe-se por relembrar da Matemática a definição de produto vectorial entre dois quaisquer
vectores A e B . O produto vectorial entre quaisquer dois vectores é um vector representado
por A ∧ B , o qual éperpendicular tanto a A como a B . A grandeza do vector A ∧ B é:
A ∧ B = A B sin ∀( A, B) ,
e o sentido do vector A ∧ B é aquele em que avança um sacarrolhas que roda de A para B ,
como se mostra na figura abaixo:
A∧ B

B
A
Uma vez que
A = (2, −6, −3)

B = (4,3, −1)

4

Electromagnestimo e Óptica

O vector unitário V perpendicular ao plano que contém A e B é dado por:

V=

A∧ B

.A∧ B

Mas


ˆ
j

ˆ
k

A ∧ B = 2 −6 −3 =
4

3

−1

= ((−6) × (−1) − (−3) × (3), (−3) × (4) − (2) × (−1), (2) × (3) − (−6) × (4))
= (6 + 9, −12 + 2, 6 + 24)
= (15, −10,30),

e portanto
V=

=

9.

(15, −10,30)

(15)

2

2

+ ( −10 ) + ( 30 )

2

=

1
(15, −10,30)
1225

1
3 2 6
(15, −10,30) =  , − ,  .
35
7 7 7
Mostre que a área de um...
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