derivadas

INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA

CADERNO DE APOIO
À PREPARAÇÃO PARA EXAME DE MATEMÁTICA
DE ACESSO AO ENSINO SUPERIOR – MAIORES DE 23 ANOS
Derivadas
Versão 2013.05.04

Irene Arraiano
José Estrela
Manuel Martins

Mat-23

Definições

Dada a função f(x) definida num intervalo [b;c] e contínua no seu interior, ou seja, em ]b;c[, e seja a ∈ ]b;c[. Designa-se por razão incremental o quociente f (x ) − f (a ) x−a Define-se derivada da função f(x) no ponto a, e representa-se por f’(a), ao limite, caso exista e seja finito, da razão incremental quando x tende para
a.
df f x −f a f a+h − f a

f ' (a ) =

dx

(a ) = lim x →a

()

x−a

( ) = lim ( h →0

)

( )

h

ex) Determine, pela definição, a derivada de f(x) = ex no ponto x = 0;

f (0 + h ) − f (0) eh − e0 eh −1 f ' (0) = lim
= lim
= lim
=1
h →0 h →0 h →0 h h h ex) Determine, pela definição, a derivada de f(x) = (x–1)2 no ponto x=2;
2

(x − 1) − 1 = lim x 2 − 2 x = f (x ) − f (x0 ) f ' ( x0 ) = lim
= lim x →x0 x→2 x→2 x − 2 x − x0 x−2 x( x − 2 )
= lim x = 2 x→2 x − 2 x →2

= lim
Mt/2

Mat-23

Definições

ex) Determine, pela definição,

f’(2) sendo f(x) = 1/x;

2− x
1
1
− (x − 2) f (x ) − f (2 ) x − 2
= lim
= lim 2 x = lim
=
f ' (2) = lim x →2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 2 x( x − 2 ) x −2

1
 1 
= lim −  = − x→2 4
 2x  ex) Determine, pela definição, a derivada de f(x) = x2 num ponto genérico x0, ou seja, f’(x0)
2

(x − x0 )(x + x0 ) = f (x ) − f (x0 ) x 2 − x0 f ' (x0 ) = lim
= lim
= lim x → x0 x → x0 x − x x → x0 x − x0 x − x0
0
= lim (x + x0 ) = 2 x0 x → x0

Exercício 1:
Determine, pela definição:
a)
f’(3) sendo f(x) = (x + 2)/x;
c)
Mt/3

f’(–1) sendo f(x) = –(1 – x2);

b)

f’(2) sendo f(x) = x2 – 5x;

d)

f’(9) sendo f ( x ) =

x;

Mat-23

Definições

Define-se derivada lateral esquerda da função f(x) no ponto a, a

f e' (a ) =