Derivadas

Aplicações da Derivada

3 - Construção de Gráficos
Gráficos como o da função [pic] não são fáceis de serem construídos pelo método convencional (atribuição de valores a x). Da mesma forma, funções polinomiais de grau maior que 3, funções exponenciais, racionais e outras apresentariam uma dificuldade ainda maior. Para funções desse tipo podemos utilizar a derivada como auxílio para realizar um bom esboço de seus gráficos.

3.1 - Extremos Relativos (máximo e mínimo)
Máximo relativo de uma função é um “pico”, ou seja um ponto do gráfico da função mais alto que qualquer outro que lhe seja vizinho.
Mínimo relativo é o “fundo do vale”, ou seja um ponto do gráfico da função mais baixo que qualquer outro que lhe seja vizinho.
Identifique no gráfico abaixo os extremos relativos.

y

f(x)

x

3.2 - Crescimento e Decrescimento
Uma função é crescente quando à medida que x aumenta, f(x) também aumenta.
Uma função é decrescente quando à medida que x aumenta temos que f(x) diminui.

y

f(x)

x

3.3 - Sinal da derivada
Podemos reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal de sua primeira derivada. Quanto à concavidade, podemos determiná-la através do sinal da segunda derivada.

1 - Teste da primeira derivada: [pic]> 0 em (a,b) [pic][pic] é crescente em (a,b).

[pic]< 0 em (a,b) [pic][pic] é decrescente em (a,b).
3.4 - Pontos Críticos

Chamamos de ponto crítico o ponto [pic]pertencente ao domínio da função f tal que [pic]= 0 ou [pic] não existe. Dentre os pontos críticos podemos identificar os que são pontos de máximo e os que são pontos de mínimo. Alguns pontos críticos podem não ser nem de máximo, nem de mínimo, nesse caso são ditos pontos de inflexão, ou seja um ponto onde a concavidade muda (veja figura abaixo). Esses pontos também são conhecidos como pontos críticos de