Derivadas

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Uninove











Cálculo Diferencial e Integral I
Profº Edson

1º semestre - 2012
DERIVADAS
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADAS
Exemplo 1:
Suponhamos que a temperatura de uma sala obedeça a seguinte função: f (x) = x2, sendo a temperatura medida em graus celsius (ºC) e o tempo em horas (h).
























Começamos a observar a temperatura a partir do instante x0 = 1 h.A temperatura, então, será f (1) = 12 = 1º C.
Quando x = 3 h, p.e., a temperatura será f (3) = 32 = 9 ºC.
Temos então que:
• a partir de x0 = 1 h, a variável x aumentou de DUAS unidades (horas) e passou para x = 3 h.
Esta variação de x é indicada por (x, i.e.:
(x = x – x0 = 3 – 1 = 2
• por sua vez, a temperatura y = f (x) também sofreu uma variação: passou de f(x0) = f (1) = 1ºC para f (x) = f (3) = 9ºC, ou seja, aumentou de OITO unidades.
• calculando a razão (y/(x, temos:
[pic]
• esta razão, [pic]exprime a variação de y por unidade de variação de x, em média, no intervalo (x. Assim, no nosso exemplo, [pic], significa que entre 1h e 3h, a temperatura aumentou de 4ºC por hora, em média.
Suponhamos agora, que tenhamos a necessidade deconhecer a variação da temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h, que é o que chamamos de variação instantânea da temperatura.
Vamos calcular os valores da variação para intervalos cada vez mais próximos de 1h. Com isto, nosso valor de (x será cada vez menor e tenderá a zero.
| | | | | ||
|i |xi (h) |(x (h) |[pic] (ºC) |(y (ºC) |[pic] (ºC/h) |


| | | | | | |
|1 |1h30 = |1,5 – 1 = 0,5 |[pic] |2,25 –1 = 1,25 |[pic]|
| |1,5 | | | | |
| | | | | | |
|2 |1 h e 12 min = |1,2 – 1 = 0,2 |[pic] |1,44 –1=|[pic] |
| |1,2 | | |0,44 | |
| | | | | | |
|3 |1 h e 6 min = 1,1|1,1 – 1 = |[pic] |1,21 –1= 0,21|[pic] |
| | |0,1 | | | |
| | | | | | |
|4 |1 h e 1 seg = |1,0002777 –1 = |[pic]|1,0005555 – 1= |[pic] |
| |1,0002777 |0,0002777 | |0,0005555 | |

Podemos perceber que quanto mais próximo de x = 1 ((x = 0), mais a razão [pic] aproxima-se de 2.
Relembrando o conceito de limite, x tendendo a xo implica em (x tender a zero. Ou seja:
[pic]
Este número,assim encontrado, 2 ºC/h, é denominado derivada de f (x) no ponto x0 = 1h, e sua representação é f’ (1).
O resultado pode ser compreendido da seguinte forma:
( o limite da razão [pic] quando [pic], exprime a variação instantânea de y (temperatura) por unidade de variação de x (tempo), a partir de x0 = 1 h.
( ou de uma outra forma, o limite da razão [pic] quando [pic], exprime que,...
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