Derivadas

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5. Derivada
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma
função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da
taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de
redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ouobjetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função
variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para
entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma
função em um ponto:
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f
emx0, denotada por f ’(x0), é dada por:
' ( ) 0 f x =
0
lim® Dx x
f x x f x
D
( + D ) − ( ) 0 0 ,
se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando
( ) 0 0 x = x + Dx Dx = x − x , a derivada de f em x0 pode também se expressa por
' ( ) 0 f x =
0
limx

0
0 ( ) ( )
x x
f x f x


.
Notações: f ' ( x0,) ,
x x0 dx
df
=
, ( ) 0 xdx
df
.
Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação
instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:
Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor
x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Dx = x1 - x0,
e a variação de y é dada por Dy = f(x1)- f (x0), oque é ilustrado na figura a seguir:
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O quociente das diferenças, dado por
1 0
1 0 ( ) ( )
x x
f x f x
x
y


=
D
D
, é dito taxa de variação média de y em
relação a x, no intervalo [x0, x1 ]. O limite destas taxas médias de variação, quando Dx Ø 0, é
chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim, temos:
Taxa de variação instantânea =
x
f x x f xx x
f x f x
x x x D
+ D −
=


® D ®
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim 0 0
0
1 0
1 0
1 0
.
Porém, ' ( )
( ) ( )
lim 0
0 0
0
f x
x
f x x f x
x
=
D
+ D −
D ®
.
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste
ponto.
Exemplos:
1) Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por
p(t) = t2-6t, onde p(t) é medida em pés e t em segundos.
a) Determine a velocidade em um instante t = a qualquer.
b) Determine a velocidade da partícula em t = 0 e t = 4.
c) Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo e
negativo sobre r.
d) Em que instante a velocidade é nula?
Solução:
a) A velocidade instantânea é o limite da velocidade média, quandoconsideramos um intervalo de
tempo tendendo a zero, o que é fornecido pela derivada da função posição, no instante desejado.
Portanto, temos:
x0 x1 x
y = f (x)
f (x0)
f (x1)
Dx
Dy
60
Velocidade média da partícula no intervalo de tempo t:
Vm=
t
p a t p a
D
( + D ) − ( )
t
a t a t a a
D
+ D − + D − −
=
[( )] 6( ) ( 6 )] 2 2
2
2 2 2 2 6 6 6
t
a a t t a t a a
D
+ D D − − D − +=
t
a t t t
D
D + D − D
=
2 6 2
= 2a + Dt − 6
Velocidade instantânea =
lim(2 6) 2 6
( ) ( )
( ) lim
0 0
= + D − = −
D
+ D −
=
D ® D ®
a t a
t
p a t p a
V a
t t
b) t = 0 ⇒ V(0) = 2.(0) – 6 = - 6 pés/s
t = 4 ⇒ V(4) = 2.(4) – 6 = 2 pés/s
c) P se move para a direita quando a velocidade é positiva.
P se move para a esquerda quando a velocidade é negativa.
Assim:
2a – 6 < 0 Ûa < 3 ( velocidade negativa)
2a – 6 > 0 Û a > 3 ( velocidade positiva)
Portanto o objeto:
- se movimenta para a esquerda se t Î (-¥ , 3)
- se movimenta para a direita se t Î (3 ,+¥).
d) V(a) = 0 quando 2a – 6 = 0, o que ocorre quando a = 3, ou seja, após 3 segundos, a velocidade é
nula (o objeto está parado).
2) No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície...
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