Derivada

DERIVADA

No calculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade.
Diz-se que uma fução f é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por ou por .

Em cada ponto, a derivada de é o ângulo de uma reta que é tangente acurva. A reta é sempre tangente à curva azul; seu ângulo é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.
Assim, por exemplo, se considerarmos a função f de R em R definida por f(x) = x² + x − 1, esta é diferenciável em 0. Podem ver-se na imagem abaixo os gráficos das restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de reta (de declive 1). De facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0,f(0)) mais perto estará este de ser linear.

Gráfico de uma função derivável.
Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais que se amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura abaixo.

Gráfico da função módulo, que não é derivável em 0.

Técnicas de derivação

DERIVADA DE UMA CONSTANTE Se c for um número real qualquer, então: |

DERIVADA DE UMA POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO Se n for um número inteiro qualquer, então: |

DERIVADA DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO Se f for diferenciável em x e c for um número real qualquer, então: |

DERIVADAS DE SOMAS E DIFERENÇAS Se f e g forem diferenciáveis em x,