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1. SINAIS DISCRETOS

1.1. INTRODUÇÃO

Um sinal x(t) é de tempo discreto quando for definido para valores discretos de t. É identificado por uma sequência de números, que será indicada por {xn} ou x{n} com n inteiro, e que pode representar um fenômeno para o qual a variável independente é inerentemente discreta.

Como exemplos de sinais de tempo discreto, temos:
a)A média diária do fechamento do mercado de ações, que é uma variável inerentemente discreta;
b) Um sinal obtido pela amostragem de uma função x(t) de tempo contínuo { x(t1), x(t2), x(t3), ... , x(tn), ...}.

Cada xn é denominada de amostra e o intervalo de tempo entre duas amostras sucessivas é denominado de tempo de amostragem. Quando os intervalos de amostragem são iguais a Ts, aamostragem é dita uniforme e, nesse caso, podemos escrever

xn=x[n]=x(nTs)

Na figura 1.1 apresentamos um exemplo de um sinal de tempo discreto.

Fig. 1.1 gráfico de uma função de tempo discreto.
Um sinal de tempo discreto x[n] pode ser representado de três modos:

a) Especificando-se a regra para formação de xn na sequência.

Exemplo 1.1.:

xn={2-n se n≥00se n<0.

b) Explicitando-se os valores da sequência.

Exemplo 1.2.:

{xn} = {... ,0,1,2,2,1,0,1,0,2}

Obs.: A seta indica o termo n = 0.

c) Apresentando o gráfico da sequência.

Exemplo 1.3: Ver figura 1.1.

1.2. SOMA E PRODUTO DE DUAS SEQUÊNCIAS

As operações com sequências são realizadas deacordo com as regras abaixo.

{cn} = {an} + {bn} cn = an + bn
{cn} = {an}.{bn} cn = an.bn
{cn} = {an} cn = an

1.3. SINAIS PARES E ÍMPARES

Um sinal x[n] é par quando x[−n] = x[n], ou seja, quando x−n = xn.
Exemplo 1.4: É par o sinal x[n] mostrado na figura 1.2.


Fig. 1.2 Função par.

Um sinal x[n] é ímpar quando x[−n] = −x[n], ou seja, quando x−n= −xn.

Exemplo 1.5: É ímpar o sinal x[n] mostrado na figura 1.3.


Fig. 1.3 Função ímpar.

1.4. SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIÓDICO

Um sinal de tempo discreto é periódico quando existe um N>0 tal que

X[n+N] = x[n]

O período fundamental No de x[n] é o menor inteiro positivo N para o qual a função é periódica.

Exemplo 1.6: É periódica a função cujo gráfico é dado abaixo.Fig. 1.4 Função periódica.

1.5. SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA:

A “energia normalizada” de x[n] é definida como

E=n=-∞∞x(n)2

A “potência média normalizada” P de x[n] é definida como

P=limN→∞12N+1n=-NNx(n)2

OBS:
1) x[n] é um sinal de energia se, e somente se, 0<E<∞. Observe que nesse caso teremos P=0.

2) x[n] é um sinal de potência se, e somentese, 0<P<∞. Observe que nesse caso teremos E=∞.

3) Sinais que não satisfazem a esta propriedade são referidos como sinais nem de energia nem de potência.

4) Um sinal periódico é um sinal de potência quando o seu conteúdo de potência por período for finito. Nesse caso a potência média só precisa ser calculada num período.
1.6. SINAIS BÁSICOS DE TEMPO DISCRETO

1.6.1 Sequênciadegrau unitário:

a) u[n] = {0 se n<01 se n≥0


Fig. 1.5 Função degrau unitário.

b) u[n−k]= {0 se n<k1 se n≥k

Fig. 1.6 Função degrau unitário deslocado.

1.6.2 Sequência Impulso Unitário:

a) [n]= {0 se n≠01 se n=0

Fig. 1.7 Função impulso.

b) [n−k] = {0 se n≠k1 se n=k

Fig. 1.8 Função impulso deslocado.

1.6.3 Sequências exponenciaiscomplexas:

x[n] = ejnΩo

Usando a fórmula de Euler:

x[n] = ejnΩo = cos(no) + jsen(no)
parte real parte imaginária

OBS:
a) Para que ejnΩo seja periódica de período N, o deve satisfazer à condição

Ωo2π=mN

onde m é um inteiro positivo. Ou seja, se Ωo2π for um número racional.

b) O período fundamental de x[n] é dado por...
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