Controle digital

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APÊNDICE

H
Sistemas de Controle de Dados Discretos

 H-1 INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, os sistemas de controle de dados discretos e digitais se tornaram muito importantes na indústria, principalmente pelos avanços realizados nos microprocessadores e microcomputadores. Além disso, existem diversas vantagens em se operar com os sinais digitais em relação aos analógicos. O diagrama deblocos de um sistema de controle digital típico é mostrado na Fig. H-1. O sistema é caracterizado pelos sinais codificados digitalmente em diversas partes do sistema. Entretanto, o dispositivo de saída do sistema é, geralmente, um componente analógico, como um motor cc, acionado por sinais analógicos. Portanto, um sistema de controle digital frequentemente requer o uso tanto de conversoresdigital-analógico (D/A) quanto de analógico-digital (A/D).

 H-2 A TRANSFORMADA z
Da mesma forma que os sistemas lineares de dados contínuos são descritos por equações diferenciais, os sistemas de controle lineares digitais são descritos por equações de diferenças (veja o Apêndice B). Conforme foi visto, a transformada de Laplace é um método poderoso para a solução de equações diferenciais linearesinvariantes no tempo. Analogamente, a transformada z é um método operacional de solução de equações de diferença lineares invariantes no tempo.

H-2-1

Definição da Transformada z
Considere a sequência y(k), k = 0, 1, 2, ..., em que y(k) poderia representar uma sequência de números ou eventos. A transformada z de y(k) é definida como (H-1) em que z é uma variável complexa com partes real e imaginária.A importância dessa definição será esclarecida posteriormente. Uma importante propriedade da transformada z é que ela converte uma sequência de números no domínio real em uma expressão no domínio complexo z. Os exemplos a seguir ilustram a dedução da transformada z de duas funções simples.

r(t)

CONTROLADOR DIGITAL

r*(t) D/A

h(t) PROCESSO

y(t)

Figura H-1 Diagrama de blocos de umsistema de controle digital típico.
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Sistemas de Controle de Dados Discretos

 55

 EXEMPLO H-2-1 Considere a sequência
y(zk) = e–ak k = 0, 1, 2,... (H-2) em que a é uma constante real. Aplicando a Eq. (H-1), a transformada z de y(k) é escrita como (H-3) que converge para e-a z-1< 1. Multiplicando ambos os lados dessa equação por e-a z-1, subtraindo a equação resultante da Eq. (H-3)e resolvendo para Y(z), o resultado pode ser expresso na forma fechada como (H-4) para e-a z-1< 1.



 EXEMPLO H-2-2

No Exemplo H-2-1, se a = 0, tem-se y(k) = 1 k = 0, 1, 2,... (H-5)

que representa uma sequência de uns. Assim, a transformada z de y(k) é (H-6) que converge para z> 1.



H-2-2

Relação entre a Transformada de Laplace e a Transformada z
Enquanto osmatemáticos gostam de falar sobre sequências, os engenheiros se sentem melhor tratando de sinais. Pode ser interessante representar a sequência y(kT), k = 0, 1, 2,... como um trem de impulsos separados pelo intervalo de tempo T. Este intervalo de tempo é definido como período de amostragem. O impulso no k-ésimo instante de tempo, δ(t – kT), conduz o valor de y(kT). Esta situação ocorre com muita frequêncianos sistemas de controle digitais e de dados amostrados nos quais um sinal y(t) é digitalizado ou amostrado a cada T segundos para formar uma sequência no tempo que represente o sinal nos instantes amostrados. Assim, pode-se relacionar a sequência y(kT) com um sinal que possa ser expresso como (H-7) Aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os lados da Eq. (H-7), tem-se (H-8) Comparando-se aEq. (H-8) com a Eq. (H-1), percebe-se que a transformada z pode ser relacionada com a transformada de Laplace por meio da expressão z = eTs (H-9)

De fato, a transformada z como definida na Eq. (H-1) pode ser observada como um caso especial em que T = 1. A definição da transformada z na Eq. (H-9) permite tratar os sistemas amostrados e realizar as simulações digitais dos sistemas de dados...
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