Catenária

A Caten´ria a Inspira¸˜o das aulas do Prof. Fleming ca 1

Introdu¸˜o ca O formato de uma corda suspensa por suas extremidades ´ chamado caten´ria. Mas qual ´ exa a e atamente seu perfil? Vamos resolver este problema partindo de um princ´ ıpio bem simples: dentre todos os poss´ ıveis formatos que unem os dois pontos, a corda assumir´ aquele que tem a menor a energia armazenada. Isso se resume a resolver o problema de m´ ınimo, E → m´ ınimo onde E ´ a energia total da corda suspensa. e 2

Energia Total da Corda

Como a corda est´ parada, sua energia ser´ somente potencial, que para um elemento de corda de a a massa dm pode ser escrita como, dV = (dm)gh, onde g ´ a gravidade e h a altura do elemento de corda com respeito ao eixo x. Se a corda tem e densidade λ, e lembrando que o comprimento de uma curva ´ ds = 1 + y ′ (x)2 , podemos escrever e o elemento de massa como, dm = λds = λ 1 + y ′ (x)2 , e a energia potencial de um peda¸o de corda fica, c dV = λ

1 + y ′ (x)2 gh,

Como h ´ a altura do elemento de corda, em cada ponto a altura ser´ h = y(x), pelo que a e a energia potencial total da corda suspensa fica,
V =

1 + y ′ (x)2 y(x)dx

dV = λg

(1)

Essa ´ a fun¸ao que queremos minimizar: dentre todas as poss´ e c˜ ıveis formas que a corda pode assumir (todas as fun¸oes y(x) que unem os pontos onde a corda foi suspensa), queremos aquela que c˜ confere a menor energia potencial ` corda (aquela que minimiza a fun¸ao V = a c˜
1 + y ′2 ydx)1 .
1 Deixaremos

de lado, por enquanto, os parˆmetros λ e g. a 1

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Variando Curvas

1 + y ′2 ydx. Sabemos do
A problema agora consiste em determinar y(x) que minimiza V =
2
a c´lculo variacional que, se y(x) ´ a curva que minimiza o funcional f (y, y ′ ) = 1 + y ′2 y, ent˜o a e ela deve satisfazer a equa¸ao de Euler-Lagrange, c˜ ∂f
∂ ∂f
=0
−
∂y
∂x ∂y ′
Como, no nosso caso, f n˜o depende explicitamente de x, a equa¸ao de Euler-Lagrange