Calculo iii

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PARTE 1 – ÁREA

E

INTEGRAIS

DE

SUPERFÍCIE

No s exer c ícios

01



07,

c a lcu le a ár ea da sup erf íc ie S

01.

S é a superf íc ie do p arabo ló id e z  x 2  y 2 , situada ab aixo do p lano z  1 .

02. 03.

S é a superf íc ie descr ita por  u , v   u , v, 5  u  v  , u 2  v 2  9 . S é a por ção do p lano 2 x  2 y  z  4 qu e está no pr imeiro octante. S é a superf íc ie do cilindro 2 z  x 2 , cor tada p e los p lano s 2 y  x , y  2 x e x  2 2 . S é a p ar te d a es fer a x 2  y 2  z 2  1 , in te rna ao cone z 
x2  y2 .

04.

05. 06.

S é a sup erfície p lan a cuja f ron te ir a correspond e ao tr iângu lo d e vér tices nos pon tos
( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3, 0 ) e ( 0 , 0 , 2 ) .

07.

 S é d escrita pela equ ação paramé trica  ( u , v )  ( u , v , u 2  v 2 ) , 1  u 2  v2  9 .

No s exer c ícios

08



12,

c a l cu le

 F ( x , y , z ) d s
S

08.

F ( x , y , z )  x  y , S a por ção do p lano 2 x  3 y  z  6 situ ada no pr imeir o o c tante.

09.

F ( x , y , z )  x 2  y 2  z 2 , S a por ção do p lano z  y  4 inter ior ao cilindro x 2  y 2  4 . F ( x , y , z )  x 2 , S oh e mis f ér io sup er ior d e x 2  y 2  z 2  a 2 .
F ( x, y, z )  z x 2  y 2 , S a porção da esf era x 2  y 2  z 2  9 , co mp re endid a en tr e os

10.

11.

p lanos z  1 e z  2 .
12.

F ( x , y , z )  z 2 , S a por ção do cilindro x 2  y 2  4 , p a ra
p lanos z  0 e z  x  3 .  

0, co mpr e end ida en tr e os

PARTE 2 – INTEGRAIS
No s exer c ícios
01DE

LINHA

NO

ESPAÇO



08,

c a l cu le a s i n t eg r a i s d e l in h a ind i ca d a s

A re ta no espa ço S e P1  ( x1 , y1 , z1 ) e P2  ( x 2 , y 2 , z 2 ) s ão p o n tos d is t int o s ,

 x  x1  t ( x 2  x1 )   y  y1  t ( y 2  y 1 )  z  z  t(z  z ) 1 2 1 
s ão a s eq u aç õ e s p ar a mé t r i ca s d a r e ta qu e p assa por esses dois pon tos.

01.

xd x 
C

y d y  ( x z  y ) d z , onde o camin ho a ser p er corr ido tem in ício em ( 0 , 0 , 0 ) e

t é r mi n o e m ( 1 , 2 , 4 ) , cor respond endo ao seg men to d a reta que esses pon tos defin e m.
02.

z
C

2

d x  x 2 d z , C o caminho lig ando o pon to ( 1 , 0 , 1 ) ao pon to ( 2 , 0 , 4 ) atrav és de do is

seg men to s retilíneo s: o primeiro parale lo ao eixo OX e osegundo p aralelo ao eixo O Z.

03.

 ydx  zd y  xdz,
C

o n d e o c a mi n h o C corr espond e à in terseção d as sup erf ície s d e

e qua çõ es z  x y e x 2  y 2  1 , p er corr ido u ma v ez no sen tido po sitivo , quando ob servado d e u m pon to acima do p lano z  0 .

04.

 x z d x  xd y  y z d z ,
C

o n d e C é o caminho

d escr ito n a f igura ao lado, co m início em

( 0 , 0 , 1 ) e tér mi n o e m ( 0 , 1, 1 ) , consistindo
d e u m qu ar to d e cir cunf er ência e de do is seg men to s retilíneo s.

05.


C

x

1  y2 d x , se n d o C a po rç ão d a c urva y2  z2

do pr imeiro o c tan te, qu e cor respond e à in te rseção do p lano cilíndric a 2 y 2  z 2  1 , p erco rr ida do pon to ( 0 , 0 , 1 ) ao pon to (

x  y com a s u p erf í c i e
2 2 , 2 2 , 0).

06.

 (e
C

x

sen z  2 y z ) d x  ( 2 x z  2 y ) d y  ( e x cos z  2 x y  3 z 2 ) d z ,

o

c a mi n h o

C

correspond endo ao tr ajeto retilíneo que liga o pon to ( 1, 1, 0 ) ao pon to ( 0 , 0 , ord e m.
07.


2

) , nesta

 zd x 
C

x d y  y d z , se n d o C o tr a ço de ix ado p e lo hemis f é r io z 

a 2  x 2  y 2 no plano

z  0.

08.

 ( 3 z  sen x ) d x  ( x
C

2

 e y ) d y  ( y 3  cos z ) d z , ond e C é a curv a dad a p e la s equ açõ es

x  cos  , y  sen  , z  1 , p ar a 0    2 .
Calcu le

09.

C

y

2

d x  z 2d y  x 2 d z ,

ond e

C

é

o

tr iângu lo

de

v ér tices

no s

pon tos

(1, 0 , 0 ) , ( 0 , 1, 0 ) e ( 0 , 0 , 1) .
10....
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