Cálculo III

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS
CÁLCULO III - PROFESSOR: FELIX PEDRO QUISPE GOMEZ

Trabalho de Cálculo III

Julho, 2011.

1) Analisar a diferenciabilidade da função definida por f ( x , y ) x y , no ponto ( x 0 , y 0 ) (1, 4) , e calcular o plano tangente à superfície neste ponto.
Solução 1: Seja f ( x , y ) função: y . Então vamos encontrar as derivadas parciais da

x

f x ( x, y )

x

f y x, y

y

2

y

Aplicando no ponto (1,4) temos: f x (1, 4)

f y (1, 4 )

2

1
4

Como as derivadas parciais no ponto (1,4) são contínuas, segue que a função f é diferenciável no ponto (1,4).
Temos a equação do plano tangente .no ponto (1,4): x z

f ( x0 , y 0 )

x0

y

f ( x0 , y 0 )

y0

x

x

x0

f ( x0 , y 0 )

y

y0

x

1

y

f ( x0 , y 0 )

f ( x0 , y 0 )

y

z

4

Aplicando a equação do ponto (1,4): z f (1, 4 )

f (1, 4 )

z

2

2

2

2( x

1

x

1

4

z

y

4

1

1)

(y

4)

4 z y

2x

1

4

2) Determine e classifique os extremos relativos da função definida por, f ( x, y )

x

3

y

3

3y

2

3x

9y

2

Solução: Seja as derivadas parciais da função f(x,y): x y

3x

f ( x, y )

2

3

3y

f ( x, y )

2

6y

9

Simplificando:
3x
3y

2
2

3
6y

x

0

( 3)
9

0

2

y

2

1
2y

0

(x
3

0

1)( x

1)

(y

1)( y

3)

0
0

Pontos críticos: x1 1,

y1

x2

1,

Q1

y2

3

( 1,1)

Q2

( 1, 3)

Q3

1

(1,1)

Q4

(1, 3)

Temos ainda:
2
x

f ( x, y )

2 xy 6x

f ( xy )

2 yx 0

f ( x, y )

2 y 0

f ( x, y )

6y

22

3 6 xy

36 x

22

36 x( y

1)

Vamos calcular:

11

2 x f ( x, y )

2 x 6x

22

2 yx 6x

6y

• Avaliando no ponto Q1
11

6

22

;

36 x ( y

22

60

22

;

36 x ( y

22

36.1(1