Cadeia

Páginas: 8 (1799 palavras) Publicado: 23 de setembro de 2015
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matem´atica


alculo 1
A Regra da Cadeia

Suponha que, a partir de uma lona de pl´astico com
6 metros de comprimento e 3 de largura, desejamos
construir uma barraca com vista frontal na forma de
um triˆangulo is´osceles. Se denotarmos por h a altura
da barraca e por b o comprimento da sua base, a situa¸c˜ao pode ser descrita pela figura ao lado.Queremos escolher as dimens˜oes de h e b de modo
que o volume da barraca seja o maior poss´ıvel.

3m

h

3m

b

Para tanto, vamos inicialmente observar que este volume, em metros c´
ubicos, ´e dado pela
a´rea do triˆangulo que fornece a vista frontal da barraca multiplicado por 3, isto ´e, o volume
´e exatamente (3/2)bh.
´ importante notar que o valor de b depende de h. De fato, usando o Teorema de
E
√Pit´agoras, vemos que 32 = h2 + (b/2)2 , ou ainda, b = 2 9 − h2 . Assim, podemos construir
uma fun¸c˜ao V (h) que fornece, para cada valor de h, o volume da barraca. A express˜ao dessa
fun¸c˜ao ´e como se segue:

V (h) = 3h 9 − h2 , h ∈ (0, 3).
Analisando o gr´afico da fun¸c˜ao V ao lado conclu´ımos que
o seu maior valor ´e atingido para algum h0 ∈ (0, 3). Nas
semanas seguintes vamos aprender comojustificar melhor essa
afirma¸c˜ao, bem como desenvolver uma t´ecnica que nos permita
tra¸car o gr´afico da fun¸c˜ao. Por ora, vamos acreditar que o
gr´afico ´e de fato como acima e nos concentrar em encontrar o
valor h0 que maximiza a fun¸c˜ao V .
Ainda explorando o gr´afico, vemos que a fun¸c˜ao V ´e crescente no intervalo (0, h0 ). Isto
est´a intimamente relacionado com o sinal da derivada V ′neste intervalo. De fato, note que
a reta tangente em qualquer ponto do tipo (h, V (h)) com h ∈ (0, h0 ) tem inclina¸c˜ao positiva.
Como esta inclina¸c˜ao ´e dada pelo n´
umero V ′ (h), conclu´ımos que a derivada ´e positiva no
intervalo (0, h0 ). De maneira an´aloga temos que V ′ ´e negativa em (h0 , 3), intervalo onde a
fun¸c˜ao V ´e decrescente.
1

As observa¸c˜oes acima nos d˜ao a pistaimportante de como encontrar o n´
umero h0 . De

acordo com o gr´afico, este ponto deve ser tal que V (h0 ) = 0, isto ´e, no ponto onde a fun¸c˜ao
atinge o seu maior valor a reta tangente ´e horizontal.
A estrat´egia agora est´a bem clara: precisamos derivar a fun¸ca˜o V e buscar o ponto onde
a sua derivada se anula. No c´alculo da derivada vamos usar a regra do produto




V ′ (h) = (3h)′ 9 − h2+ 3h( 9 − h2 )′ = 3 9 − h2 + 3h( 9 − h2 )′ .

(1)


Neste ponto uma dificuldade t´ecnica se apresenta: como calcular a derivada ( 9 − h2 )′ ?


Nas semanas anteriores apredemos que (9 − h2 )′ = −2h e que ( y)′ = 1/(2 y). Contudo, a
fun¸c˜ao que temos que derivar n˜ao ´e nenhuma destas duas, mas sim a sua composi¸c˜ao. Mais
especificamente, se denotarmos
f (y) =



y

e g(h) = 9 − h2 ,ent˜ao
(f ◦ g)(h) = f (g(h)) = f (9 − h2 ) =



9 − h2 .

Para derivar a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes acima vamos tomar a ∈ (0, 3), denotar y = g(h) e
calcular
f (g(h)) − f (g(a)) g(h) − g(a)
f (g(h)) − f (g(a))
= lim
h→a
h→a
h−a
g(h) − g(a)
h−a
f (y) − f (g(a))
g(h) − g(a)
= lim
lim
= f ′ (g(a)) · g ′ (a),
h→a
y→g(a)
y − g(a)
h−a

(f ◦ g)′(a) = lim

em que usamos o fato de que y = g(h) → g(a) quando h →a, visto que a fun¸c˜ao g ´e
cont´ınua no ponto h = a, por ser deriv´avel neste ponto. Note ainda que, na conta acima,
multiplicamos o numerador e o denominador por g(h) − g(a). Isso ´e permitido porque, como
g ´e descrescente, temos que g(h) = g(a) para todo h pr´oximo (e diferente) de a.

Uma vez que f ′ (y) = 1/(2 y) e g ′(h) = −2h, segue da f´ormula acima que

1
( 9 − h2 )′ = (f ◦ g)′ (h) = f′ (g(h))g ′(h) = f ′ (9 − h2 )(9 − h2 )′ = √
· (−2h).
2 9 − h2
Assim, podemos retomar a equa¸c˜ao (1) para obter a derivada da fun¸c˜ao V :



−h
V ′ (h) = (3h)′ 9 − h2 + 3h( 9 − h2 )′ = 3 9 − h2 + 3h √
.
9 − h2
A equa¸c˜ao V ′ (h) = 0 ´e ent˜ao equivalente a

3h2
,
3 9 − h2 = √
9 − h2
2

ou ainda,
9 − h2 = h2 .


Desse modo, o u
´ nico ponto do intervalo (0, 3) em que a derivada se...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Cadeias
  • cadeias
  • cadeia
  • cadeia
  • Cadeia
  • Cadeia
  • Cadeia
  • cadeia

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!