Apostila de matrizes e determinantes

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  • Publicado : 8 de abril de 2012
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Apostila: Matrizes e Determinantes
Prof. André Luís Rossi de Oliveira

1 Matrizes
1.1 Conceitos Básicos
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos: (1) Considere a tabela abaixo:

Altura (metros) Pessoa 1 Pessoa 2 Pessoa 3 Pessoa 4 1,70 1,75 1,60 1,81

Peso (quilos) 70 60 52 72

Idade (anos) 23 45 25 30

Ao abstraírmos os significados daslinhas e colunas, obtemos a matriz ⎡1, 70 ⎢1, 75 ⎢ ⎢1, 60 ⎢ ⎣1,81 (2) 23⎤ 45⎥ ⎥ 25⎥ ⎥ 30 ⎦

70 60 52 72

Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas matrizes abaixo: ⎡ x2 1⎤ ⎢ ⎥ ⎢ x 2⎥ ⎢ x + 1 3⎥ ⎣ ⎦

[5

sen x −2]

⎡0⎤ ⎢ e3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢3 x ⎥ ⎣ ⎦

1

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por

Am×n

⎡ a11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎢ am1 ⎣

a12 a22 am 2

a1n⎤ a2 n ⎥ ⎥ = ⎡a ⎤ , ⎥ ⎣ ij ⎦ m×n ⎥ amn ⎥ ⎦

onde aij é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna. Definição: Duas matrizes Am×n = ⎡ aij ⎤ ⎣ ⎦ m×n e Br×s = ⎡bij ⎤ r×s são iguais, ou seja, A = B , se elas ⎣ ⎦ têm o mesmo número de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus elementos correspondentes são iguais ( aij = bij ).

Exemplo:
⎡ 22 ⎢ ⎢ 3 ⎢ cos900 ⎢ ⎣ ln1 sen 90o ⎤ ⎡ 4 0 1⎤ ⎥ 0 9 ⎥ = ⎢ 3 0 3⎥ ⎢ ⎥ −1 3 ⎥ ⎢ 0 −1 3 ⎥ ⎦ ⎥ ⎣ ⎦

1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Seja Am×n uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes são os seguintes:

(a)

Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas ( m = n ).

⎡ 2 0 −9 ⎤ ⎢ 4 −8 −7 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 8 6 ⎥ 3×3 ⎣ ⎦

[ 4]1×1

2

(b)

Nula: aij = 0∀i, j .

⎡0 0 ⎤ ⎢0 0 ⎥ ⎣ ⎦

⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0

0 0 0 0

0 0 0 0

0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦

(c)

Coluna: n = 1 . ⎡1⎤ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −3⎦ ⎡6⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −7 ⎦

Uma matriz coluna é chamada de vetor-coluna. Linha: m = 1 .

(d)

[3

−7 −4]

[6

4 1 −8]

Uma matriz linha é chamada de vetor-linha. Diagonal: É uma matriz quadrada onde aij = 0 ∀i ≠ j .

(e)

⎡2 0 0 ⎤ ⎢0 1 0 ⎥ ⎢⎥ ⎢ 0 0 −4 ⎥ ⎣ ⎦ (f) Identidade: É uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são iguais a 1, ou seja, aii = 1 e aij = 0 ∀i ≠ j .

3

⎡1 0 0 ⎤ ⎢0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦
(g) Triangular Superior: É uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, aij = 0 ∀i > j . ⎡ 4 −3 −2 9 ⎤ ⎢ 0 −1 0 1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 3 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 ⎦ (h) Triangular Inferior: Éuma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são iguais a zero, isto é, aij = 0 ∀i < j .

⎡2 0 0 ⎢ −3 −2 0 ⎢ ⎢ −3 −3 4 ⎢ ⎣ −2 4 8 (i)

0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 9⎦

Simétrica: É uma matriz quadrada onde aij = a ji ∀i, j .

⎡ 1 2 −4 ⎤ ⎢2 3 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 1 2 ⎥ ⎣ ⎦

1.3 Operações com Matrizes

Adição: A + B = ⎡ aij + bij ⎤ ⎣ ⎦

m×n

, onde Am×n = ⎡ aij ⎤ e Bm×n = ⎡bij ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦4

⎡1 −5⎤ ⎡ 0 −8⎤ ⎡ 1 Exemplo: ⎢ 3 −3⎥ + ⎢ −7 1 ⎥ = ⎢ −4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 4 −2 ⎥ ⎢ 9 0 ⎥ ⎢13 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

−13⎤ −2 ⎥ ⎥ −2 ⎥ ⎦

Propriedades da adição: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, temos: (i) A + B = B + A (comutatividade) (ii) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C (associatividade) (iii) A + 0 = A , onde 0 é a matriz nula mxn.

Demonstração: Exercício!

Multiplicação por escalar: k .A = ⎡ kaij ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ 0 −3⎤ ⎡ 0 −21⎤ Exemplo: 7 ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 4 5 ⎦ ⎣ 28 35 ⎦

m×n

, onde A = ⎡ aij ⎤ e k é um número real. ⎣ ⎦ m×n

Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem mxn e números reais k , k1 e k2 , temos: (i) k ( A + B ) = kA + kB (ii) ( k1 + k2 ) A = k1 A + k2 A (iii) 0. A = 0 (iv) k1 ( k2 A) = ( k1k2 ) A

Demonstração: Exercício!

Transposição: Dada uma matriz A = ⎡ aij ⎤, a matriz transposta de A é definida como ⎣ ⎦ m×n

AT = ⎡bij ⎤ , cujas linhas são as colunas de A, isto é, bij = a ji ∀i, j . ⎣ ⎦ n×m

Exemplos:

5

⎡ 3 −8⎤ 0 0⎤ ⎡3 A = ⎢0 7 ⎥ AT = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −8 7 3 ⎦ ⎢0 3 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡4 2⎤ ⎡ 4 2⎤ B=⎢ BT = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣2 1⎦ ⎣2 1⎦

Propriedades: (i) (ii) (iii) (iv) (v) Uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual à sua transposta, ou seja, A = AT ....
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