Apostila de matrizes determinantes e sistemas 2008

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Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas

1ª Edição 2008


Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna


Capítulo 1 - Matrizes

1.1 Definição

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, aidade e a altura de 5 pessoas.

|Nome |Peso(kg) |Idade(anos) |Altura(m) |
|Ricardo |70 |23 |1,70 |
|José |60 |42 |1,60|
|João |55 |21 |1,65 |
|Pedro |50 |18 |1,72 |
|Augusto |66 |30 |1,68|



O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.




[pic] ou [pic]

Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhas e 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.Exemplos:

[pic]: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)

[pic]: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)

[pic]: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)

1.2 Representação Algébrica

Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para os elementos. Algebricamente, uma matriz pode serrepresentada por:

[pic]

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m

aij = i – linha

j – coluna

a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)

(na tabela significa a idade de Pedro 18)

Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.

Resolução: A representação genérica da matrizé:

[pic]

[pic]

[pic][pic][pic]

1.3 Matriz Quadrada

Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada.
Exemplo:
[pic]é uma matriz quadrada de ordem 2
Observações:
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.
2ª) Os elementos de uma matrizquadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal é chamada diagonal secundária.

Resolva:
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que [pic]
Resp.: [pic]
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por [pic]



Resp.: [pic]
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por [pic]




Resp.: [pic] [pic]1.4 Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.
Exemplo:
[pic] [pic]

1.5 Matriz tranposta

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta deA a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.

Exemplo: [pic] a sua transposta é [pic]

1.6 Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.

[pic] [pic]

[pic]...
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