Apostila de matrizes

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Apostila de Matrizes, Determinantes e Sistemas

1ª Edição 2008


Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna



Capítulo 1 - Matrizes

1.1 Definição

As matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramos da ciência e da engenharia. Várias operações realizadas por computadores são através de matrizes. Vejamos um exemplo. Considere a tabela abaixo que apresenta o peso, a idadee a altura de 5 pessoas.

Nome Peso(kg) Idade(anos) Altura(m)
Ricardo 70 23 1,70
José 60 42 1,60
João 55 21 1,65
Pedro 50 18 1,72
Augusto 66 30 1,68

O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz e cada número é chamado elemento da matriz.

ou
Neste exemplo temos uma matriz de ordem 5 x 3 (lê-se: cinco por três), isto é, uma matriz formada por 5 linhase 3 colunas. Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ou entre colchetes.
Exemplos:
: matriz de ordem 2 x 3 (2 linhas e 3 colunas)
: matriz de ordem 1 x 3 (1 linha e 3 colunas)
: matriz de ordem 2 x 1 (2 linhas e 1 coluna)
1.2 Representação Algébrica

Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculas correspondentes para oselementos. Algebricamente, uma matriz pode ser representada por:

Pode-se abreviadamente representar a matriz acima por A = (aij)n x m
aij = i – linha
j – coluna
a42 = 18 (lê-se: a quatro dois é igual a dezoito)
(na tabela significa a idade de Pedro 18)
Exemplo: Achar os elementos da matriz A = (aij)3 x 2 em que aij = 3i – j.
Resolução: A representação genérica da matriz é:1.3 Matriz Quadrada

Se o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matriz é dita quadrada.
Exemplo:
é uma matriz quadrada de ordem 2
Observações:
1ª) Quando todos os elementos de uma matriz forem iguais a zero, dizemos que é uma matriz nula.
2ª) Os elementos de uma matriz quadrada, em que i = j, formam uma diagonal denominada diagonal principal. A outradiagonal é chamada diagonal secundária.

Resolva:
1) Ache os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, em que
Resp.:
2) Escreva os elementos da matriz A = (aij) de ordem 3, definida por



Resp.:
3) Escreva os elementos da matriz A = (aij)4x2 , definida por




Resp.:
1.4 Matriz unidade ou matriz identidade

A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos dadiagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0, é denominada matriz unidade ou matriz identidade. Representa-se a matriz unidade por In.
Exemplo:

1.5 Matriz tranposta

Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos transposta de A a matriz de ordem n x m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas. Representa-se a matriz transposta de A por At.
Exemplo: a suatransposta é
1.6 Igualdade de Matrizes

Sejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento correspondente de B, as matrizes A e B são ditas iguais.



Exemplo: Dadas as matrizes , calcular x e y para que A =B.
Resolução:


Resolva:
1) Determine x e y, sabendo que







Resp: x = 5 e y = -1
2) Determine a, b, x e y,sabendo que










Resp: x = 1 , y = 2 , a = 2 e b = -5
3) Dada as matrizes , calcule x, y e z para que B = At.







Resp: x = , y = 8 e z = 2
4) Sejam calcule a, b e c para que A=B.










Resp: a = - 3 , b = c = - 4
1.7 Operações com matrizes

Adição e Subtração: a adição e subtração de duas matrizes do mesmo tipo é efetuada somando-se ousubtraindo-se os seus elementos correspondentes.
Exemplo:




Matriz oposta: denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz – A cujos elementos são os simétricos dos elementos correspondentes de A
Exemplo:


Propriedades da Adição:
Comutativa: A + B = B + A
Associativa: A + (B + C) = (A + B) +C
Elemento Neutro: A + 0 = A
Elemento Oposto: A + (-A) = 0

Exemplo: Dadas as...
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