Algebra lineares

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Etapa 1

Conceito e nomenclatura

Matriz é um quadrado de números reais organizados em linhas e colunas. De
Um modo geral, uma matriz é escrita da seguinte forma



Uma letra maiúscula do alfabeto designa a matriz, neste caso, a letra A. Os elementos são designados por uma letra minúscula, a, seguida dos índices, ij, que indica a posição do elemento na matriz, o primeiro índice, i,indica a linha e o segundo índice, j, indica a coluna. A ordem das matrizes é dada por m x n, é que m é o numero de linhas da matriz e n, o numero de colunas.

Você pode encontrar matrizes representadas das seguintes formas:

Ou ou ainda

IGUALDADE DE MATRIZES

Duas matrizes, A=(aij)mxn e B=(bij)pxq, são iguais se, e somente se:
°tiverem a mesma ordem, ou seja, mxn=pxq
°todoelemento aij=bij
Exemplo:


ALGUMAS MATRIZES ESPECIAS

Matriz transporta

Transporta de uma matriz A é a matriz tal que os números que forma cada coluna i da matriz são, ordenadamente iguais aos números que formam cada linha i de A
Exemplo:

a) a transporta de = é uma matriz

a transporta de é a matriz

Simétrica
Uma matriz A é simétrica se é quadrada e coincide com suatransporta, isto é,
Exemplos:

°A= é simétrica, pois

°B= é simétrica, pois

Antisimétrica
Uma matriz A é antisimétrica
Se for quadrada e cada um de seus elementos é igual ao oposto de elemento correspondente de sua transporta.
Exemplo:

A= é antisimétrica, pois seus elementos coincidem com o oposto dos elementos. Correspondente de sua transporta

Matriz Quadrada

É todamatriz cujo numero de linha é igual ao numero de colunas.
Exemplos:

a) é uma matriz quadrada de ordem 3.

a) é uma quadrada de ordem 2.

c) (5) é uma matriz quadrada de ordem 1.

Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij, tais que i=j formam a diagonal principal da matriz, os elementos aij tais que i+j=n+j a diagonal secundaria.

Por exemplo:

Matriz identidade

Chama-sematriz identidade (In) a matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são iguais a zero.
Exemplos:



Matriz nula
Toda matriz cujos elementos são iguais a zero é chamada
De matriz nula
Exemplos:

a) b) c) (0)

Etapa 2

Determinante de uma matriz

A toda matriz quadrada associa-se um numero, denominadodeterminante da matriz, que é obtido por meio de operação entre os elementos da matriz.
Por representar o determinante de uma matriz A (indicado por detA), substituído os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples.

°A=[4], detA=

°A= e detA=

Determinante de matriz de ordem 1

O determinante da matriz A de ordem 1 é o próprio elemento de A
Exemplo:
A=[5], detA=

Determinante dematriz de ordem 2.

O produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundaria.

detA=

Exemplo numérico: A=



Determinante de matriz de ordem 3.

Para o calculo do determinante de uma matriz da terceira ordem é usado a regra de Sarrus.
1º repetimos a primeira e a segunda coluna da matriz e as colocamos no lado direito, após a terceiracoluna.
2º efetuamos a multiplicação dos elementos segundo as durações da diagonal não muda de sinal, o produto do elemento da segunda te o sinal trocado.
3º somamos os produtos das multiplicações, obtendo o valor do determinante.
Exemplo:

A=

detA=0+10+2+30+0+4=46

Propriedades do determinante

I.O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transporta. Dada a matrizA=

II. Se todos os elementos de uma fila de um determinante foram nulos, os determinantes serão nulos


III. Se duas filas paralelas de um determinante forem iguais ou proporcionais, o determinante será nulo.
o determinante é nulo porque

Outro exemplo: o determinante é nulo porque a primeira linha é igual à segunda linha

IV. Se uma fila de um determinante for combinação...
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