Algebra linear

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O estudo da álgebra linear surgiu a partir do estudo de determinantes , que foram utilizados para resolver sistemas de equações lineares. Determinantes foram usados ​​por Leibniz em 1693, e, posteriormente, Gabriel Cramer criou regra de Cramer para resolver sistemas lineares em 1750. Mais tarde, Gauss desenvolveu a teoria de resolução de sistemas lineares usando eliminação de Gauss , queinicialmente foi listado como um avanço em geodésia. [ 2 ]
O estudo da álgebra matricial surgiu pela primeira vez na Inglaterra em meados de 1800. Em 1848, James Joseph Sylvester introduziu a matriz termo, que em latim significa "útero". Ao estudar composições de transformações lineares, Arthur Cayley foi levado para definir a multiplicação de matrizes e inversas. Fundamentalmente, Cayley utilizada umaúnica letra para denotar uma matriz, assim, o tratamento de uma matriz como um objecto agregado. Ele também percebeu a ligação entre matrizes e determinantes, e escreveu "Haveria muitas coisas a dizer sobre esta teoria de matrizes, que deve, parece-me, preceder a teoria dos determinantes". [ 3 ]
A primeira definição moderna e mais precisa de um espaço vetorial foi introduzido por Peano em 1888; [ 3] em 1900, uma teoria de transformações lineares de espaços vetoriais de dimensão finita haviam emergido. Álgebra linear primeiro tomou sua forma moderna na primeira metade do século XX, quando muitas idéias e métodos de séculos anteriores foram generalizados como álgebra abstrata . A utilização de matrizes na mecânica quântica , relatividade especial e estatísticas ajudou a disseminar o assuntoda álgebra linear além da matemática pura. O desenvolvimento dos computadores levou a um aumento da investigação em algoritmos eficientes para a eliminação de Gauss e decomposições matriz e álgebra linear tornou-se uma ferramenta essencial para a modelagem e simulações. [ 3 ]
A origem de muitas dessas idéias é discutido nos artigos sobre determinantes e de eliminação de Gauss .
Recentemente,sinólogo Roger Hart argumentou matemáticos chineses encontraram um método "essencialmente equivalente à solução de sistemas de equações de N em n incógnitas na álgebra moderna" um milênio antes do Ocidente. [ 4 ]
[ editar ] Escopo de estudo

[ editar ] Espaços vectoriais
As principais estruturas de álgebra linear são espaços vetoriais . Um espaço vectorial sobre um campo F é um conjunto V ,juntamente com duas operações binárias . Elementos de V são chamados vetores e elementos de F são chamados de escalares . A primeira operação, a adição de vetores , assume quaisquer dois vetores v e w e emite um terceiro vetor v + w . A segunda operação leva um escalar qualquer um e qualquer vector v e gera um novo vector vector av . Em virtude do primeiro exemplo, onde a multiplicação é realizada porrescaling o vector v por um escalar um , a multiplicação é chamado multiplicação escalar de v por um . As operações de adição e multiplicação em um espaço vetorial satisfazer os seguintes axiomas . [ 5 ] Na lista abaixo, deixe u , v e w ser vetores arbitrários em V , e um e b escalares em F .
Axioma Significação
Associatividade da adição u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Comutatividade de adição u +v = v + u
Elemento de identidade de adição Existe um elemento 0 ∈ V , chamado o vector de zero , tal que v + 0 = v para todo v ∈ V .
Elementos inversos de adição Para cada v ∈ V, existe um elemento - v ∈ V , chamado o inverso aditivo de v , tal que v + (- v ) = 0
Distributividade da multiplicação escalar com respeito à adição de vectores   um ( u + v ) = au + av
Distributividade damultiplicação escalar em relação à adição de campo ( a + b ) v = av + bv
Compatibilidade de multiplicação escalar com a multiplicação de campo um ( BV ) = ( ab ) v [ nb 1 ]
Elemento de identidade da multiplicação escalar 1 v = v , onde 1 indica a identidade multiplicativa em F .
Elementos de um general espaço vetorial V podem ser objetos de qualquer natureza, por exemplo, funções , polinômios ,...
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