Algebra linear

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´ Algebra Linear
S´rgio L. Zani e Segundo Semestre de 2001

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Sum´rio a
1 Espa¸os Vetoriais c 1.1 Introdu¸˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Subespa¸os Vetoriais c 2.1 Introdu¸˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 8 9 9 10

3 Combina¸˜es Lineares co 13 3.1 Defini¸˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ca 3.2 Geradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 13 4 Dependˆncia Linear e 17 4.1 Defini¸˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ca 4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 Base e Dimens˜o a 5.1 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Dimens˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a 5.3 Dimens˜o de Soma de Subespa¸os Vetoriais a c 5.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Mudan¸a de Base c 7 Transforma¸˜es Lineares co 7.1 Defini¸˜o e Exemplos . . . . . . . . . . ca 7.2 O Espa¸o Vetorial L(U, V ) . . . . . . . c 7.3 Imagem e N´cleo . . . . . . . . . . . . u 7.4 Isomorfismo e Automorfismo . . . . . 7.5 Matriz de uma Transforma¸˜o Linear . ca 7.5.1 Defini¸˜o e Exemplos. . . . . ca 7.5.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 21 22 23 26 29 33 33 34 38 42 44 44 45

8 Autovalores e Autovetores 49 8.1 Defini¸˜o,Exemplos e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ca 8.2 Polinˆmio Caracter´ o ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9 Diagonaliza¸˜o ca 10 Forma Canˆnica de Jordan o 3 57 63

4 11 Espa¸os Euclidianos c 11.1 Produto Interno . . . . . . . . 11.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Distˆncia . . . . . .. . . . . . a ˆ 11.4 Angulo . . . . . . . . . . . . . . 11.5 Ortogonalidade . . . . . . . . . 11.6 Processo de Ortogonaliza¸˜o de ca 11.7 Complemento Ortogonal . . . . 11.8 Isometria . . . . . . . . . . . . 11.9 Operador Auto-adjunto . . . .

´ SUMARIO 69 69 71 72 73 74 78 81 82 84

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gram-Schmidt . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Cap´ ıtulo 1

Espa¸os Vetoriais c
1.1 Introdu¸˜o e Exemplos ca

Neste cap´ ıtulo introduziremos o conceito de espa¸o vetorial que ser´ usado em todo o decorrer do curso. c a Por´m, antes de...
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