Algebra linear

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Núcleo de uma transformação Linear Chama-se de núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto de todos os vetores v∈V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se por N(T) ou ker(T): N(T) = {v V/T(v) = 0}

R Observemos que N(T) V e N(T) ≠ , pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0.

1) Exemplo: Seja T:R2  R3 tal que T(x,y) = (0, x+y, 0).

N(T) = {(x,y) ∈R2/ T(x,y) = (0,0,0)} Então, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0) Assim, x+y = 0 x = -y Portanto, N(T) = {( x,y) ∈R2/ x = -y} = {(-y,y), y ∈R}. Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1 Representação Gráfica:

2)

Determinar o núcleo da seguinte transformação linear R2 , T(x,y) = (x+y, 2x – y)

T:R2

Por definição: N(T) = {(x,y) R2/T(x,y) = (0,0)}
TRANSFORMAÇÕES LINEARES PROFª. ADRIANA BISCARO Página 9

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Assim, (x,y) N(T) se (x+y, 2x – y) = (0,0).

3) Seja T:R3 R2 a transformação linear dada por:

T(x,y,z) = (x-y+4z, 3x+y+8z), determinar seu núcleo.

Propriedades do Núcleo:

1) O núcleo de uma transformação linear T:V V. Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e Então, T(v1) = 0 e T(v2) = 0. Assim: I) T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0 Isto é: v1+ v2 II) N(T) T(αv1) = αT(v1) = α.0 = 0 isto é: αv1 N(T)
TRANSFORMAÇÕES LINEARES -

é um subespaço vetorial de

um número real qualquer.

PROFª. ADRIANA BISCARO

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS 2) - Uma transformação linear T:V W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}. v1, v2 V, T(v1) = T(v2),

Obs.: Uma aplicação T:V W é injetora se implica que v1 = v2. Ou de modo equivalente, se v1, v2 T(v2).

V, v1

v2 implica T(v1)

Imagem Chama-se imagem de uma transformação linear T:V W ao conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v T(V): Im(T) = {w W/T(v) = w para algum v V}. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou

Observação: note Im(T) ⊂W e Im(T) ≠ , desde que T(0) = 0 ∈ Im(T). Se Im(T) =