Algebra linear

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Núcleo de uma transformação Linear Chama-se de núcleo de uma transformação linear T: V W ao conjunto de todos os vetores v∈V que são transformados em 0 ∈ W. Indica-se por N(T) ou ker(T): N(T) = {v V/T(v) = 0}

R Observemos que N(T) V e N(T) ≠ , pois 0 N(T), tendo em vista que T(0) = 0.

1) Exemplo: Seja T:R2  R3 tal que T(x,y) = (0, x+y,0).

N(T) = {(x,y) ∈R2/ T(x,y) = (0,0,0)} Então, T(x,y) = (0,x+y,0) = (0,0,0) Assim, x+y = 0 x = -y Portanto, N(T) = {( x,y) ∈R2/ x = -y} = {(-y,y), y ∈R}. Uma base é {(-1,1)} e dimN(T) = 1 Representação Gráfica:

2)

Determinar o núcleo da seguinte transformação linear R2 , T(x,y) = (x+y, 2x – y)

T:R2

Por definição: N(T) = {(x,y) R2/T(x,y) = (0,0)}
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS Assim, (x,y) N(T) se (x+y, 2x – y) = (0,0).

3) Seja T:R3 R2 a transformação linear dada por:

T(x,y,z) = (x-y+4z, 3x+y+8z), determinar seu núcleo.

Propriedades do Núcleo:

1) O núcleo de uma transformação linear T:V V. Sejam v1 e v2 vetores pertencentes ao N(T) e Então, T(v1) = 0 e T(v2) = 0. Assim: I) T(v1 + v2) =T(v1) + T(v2) = 0 + 0 = 0 Isto é: v1+ v2 II) N(T) T(αv1) = αT(v1) = α.0 = 0 isto é: αv1 N(T)
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é um subespaço vetorial de

um número real qualquer.

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS 2) - Uma transformação linear T:V W é injetora se, e somente se, N(T) = {0}. v1, v2 V, T(v1) = T(v2),

Obs.: Uma aplicaçãoT:V W é injetora se implica que v1 = v2. Ou de modo equivalente, se v1, v2 T(v2).

V, v1

v2 implica T(v1)

Imagem Chama-se imagem de uma transformação linear T:V W ao conjunto dos vetores w W que são imagens de pelo menos um vetor v T(V): Im(T) = {w W/T(v) = w para algum v V}. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou

Observação: note Im(T) ⊂W e Im(T) ≠ , desde que T(0) = 0 ∈ Im(T). Se Im(T) =W  T é sobrejetora, ou seja, V tal que T(v) = w. w ∈ W, existe pelo menos um v

Obs.: Note que Im(T) é um subconjunto de W e, além disso, é um subespaço vetorial de W. Exemplo: 1) Seja T: R2 R2 a transformação linear dada por T(x,y) = (2x-y, -10x +y). Qual dos vetores abaixo pertence a imagem de T? a) u = (1,2) b) w = (-1,2)

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2) Determine a imagem da transformação linear T: R3 R3, T(x,y,z)= (2x-y-z, x-y-z, x+y-z).

Teorema da Dimensão: “Seja V um espaço de dimensão finita e T: V transformação linear. Então dimN(T) + dim Im(T) = dim(V) “. Exemplos: 3) Seja A projeção ortogonal do R3 sobre o plano xy T: R3 R3
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Wuma

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL - UEMS (x,y,z)  (x,y,0) ou T(x,y,z) = (x,y,0) é linear

Im(T) = {(x,y,0)

R3/ x,y

R}. A imagem de T é o próprio plano xy.

O núcleo de T é todo eixo dos z. N(T) = {(0,0,z)/ z R}. R.

Pois T(0,0,z) = (0,0,0) para todo z

Então a dimensão do núcleo (eixo z) = 1 A dimensão da imagem (plano xy) = 2 Portando a dim(V) = dimN(T) + dim Im(T) = 3 que é o próprio R3.

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Todo espaço de dimensão n é isomorfo a Rn. Assim, dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se tiverem a mesma dimensão. Exemplo: 1) O operador linear T:R2 R2. T(x,y) = (2x+y, 3x+2y) é isomorfismo no R2. Como dimV = dimW = 2, basta mostrar que T é injetora. De fato: N(T) = {(0,0), o que implica que T é injetora. 2) Verificar se a transformação linear é um isomorfismo. T:P2  R3, T(at2 + bt+c) = (a,a+b,b-c)

3)

Determinar o núcleo e a imagem do operador linear T: R3 R3 T(x,y,z) = (x+2y-z, y+2z, x+3y+z).
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