Algebra linear

COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Prof. Msc. Rubenvaldo Pereira

CONTEÚDO PARA O I NPC SISTEMAS LINEARES E MATRIZES 1. SISTEMAS LINEARES 1.1 MOTIVAÇÃO a. Modelo tomográfico
L1 L2

1
F1

2
R1

F2

R2

3
L3

4
L4

b. Fluxo de corrente em um circuito elétrico Lei de Ohm: E = RI Sendo E a voltagem, R a resistência e I a corrente no circuito. Lei de Kirchoff: “A soma algébrica das quedas de voltagem, RI, em torno de um ciclo é igual à soma algébrica das fontes de voltagem na mesma direção desse ciclo”

1.2 SISTEMAS LINEARES Equações lineares: Uma equação do tipo ax = b , que expressa o escalar b em termos da variável x e da constante a, é chamada uma equação linear. Uma equação linear em n variáveis x1, x2 ,… , xn é uma equação da forma a1x1 + a2 x2 + … + an xn = b,

(1.1)

em que o termo constante b e os coeficientes a1, a2 ,…, an são constantes reais. As variáveis de uma equação linear são geralmente chamadas incógnitas. Uma solução da equação linear (1.1) é uma coleção de n números s1, s2 ,… , sn que tem a propriedade de satisfazer (1.1) quando nela fizermos a substituição x1 = s1, x2 = s2 ,… , xn = sn . O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado d conjunto-solução ou solução geral da equação. Exemplos: 4 x1 − 5 x2 + 2 = x1 é uma equação linear e 4 x1 − 5 x2 = x1x2 não é linear. Soluções da equação (1.1) podem ser facilmente descritas e obtidas. Há três casos: Caso (i). Um dos coeficientes em (1.1) é não-nulo, digamos, a1 ≠ 0. Então, podemos reescrever a equação como segue − − − a1x1 = b − a2 x2 − … − an xn ou x1 = a1 1b − a1 1a2 x2 − … − a1 1an xn Atribuindo valores arbitrariamente às incógnitas x2, ..., xn, obtemos um valor para x1; esses valores formam uma solução da equação. Além disso, cada solução da equação pode ser obtida dessa maneira. Note, em particular, que a equação linear a uma incógnita, ax = b, com a ≠ 0 tem a única solução x = a-1b. Exemplo:

Caso (ii). Todos os coeficientes em (1.1)