1 Lista Lgebra Linear

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI
ˆ
INSTITUTO DE ENGENHARIA, CIENCIA
E TECNOLOGIA - IECT
ˆ
CURSO DE CIENCIA E TECNOLOGIA
´
1a Lista de CTJ002 - Algebra
Linear 2014/II

1. Considere as matrizes A, B, C e D com respectivas ordens, 4 × 3, 4 × 5, 3 × 5, 2 × 5, e 3 × 5.
Determine quais das seguintes express˜oes matriciais s˜ao poss´ıveis e determine a respectiva ordem.
a) AE + B .
b) C(D + B).
c) AC + B.
d) E (CB).


1 −3 6
5 3
4 3
0
8 2
 , determine:
2. Seja A = 
1 0
5 −1 3
3 1 −4 0 7
a) A ordem de A.
b) Os elementos a23 , a35 , a43 .
3. Encontre a matriz quadrada A = [aij ], de ordem 4, cujas entradas satisfazem a condi¸ca˜o dada.
a) aij = i + j.
b) aij = ij−1 .
c) aij =

1 se |i − j| > 1
−1 se |i − j| ≤ 1

.

4. Determine a matriz quadrada A = [aij ], de ordem 4, cujos elementos s˜ao dados por:


2i − 3j, se i < j aij = i2 + 2j, se i = j
.


−3i + 4j, se i > j
5. Seja a matriz A =

2 −1
, determine:
3 −2

a) A2 .
b) A3 .
c) A33 .
d) A42 .
1

6. Determine os n´ umeros reais x e y tais que x3 y 2
−x 3y
0 4
+
=
.
y 2 x2
4y 2x
5 −1

7. Considere

3

A = −1
1

as matrizes

0
4 −1
2 , B =
,
0 2
1






1 5 2
6 1 3
1 4 2
C=
, D = −1 0 1 , E = −1 1 2 .
3 1 5
3 2 4
4 1 3

Calcule (quando poss´ıvel):
a) (2D − E)A.
b) (4B)C + 2B.
c) (−AC) + 5D .
d) (BA − 2C) .
e) B (CC − A A).
f) D E − (ED) .
1
8. Sejam as matrizes A = AA e B = (B + B )2 . Mostre que A e B s˜ao sim´etricas.
2
9. Dizemos que uma matriz A ´e ortogonal se, e somente se, AA = I. Determine o n´ umero real m
−1 0 de modo que a matriz M = seja ortogonal.
0 m
10. Verifique quais das matrizes abaixo s˜ao ortogonais.
0 1
A=
,
1 0

1 −2
B=
,
2 1

C=

1
3
√
2 2
3

√
2 2
3
− 31

11. Resolva os seguintes sistemas lineares:
(a)

5x − 2y = 4
3x − y = 3

2x − 3y = 7
3x + 5y = 1


2x + 3y − z = 1
(c) 3x + 5y + 2z = 8

 x − 2y − 3z = −1


2x − y − 3z = 5
(d) 3x − 2y + 2z = 5


5x − 3y − z = 16

(b)

2

.

(e)

(f)

(g)

(h)



x + y + z = 0
2x + y − z = 0


3x − y −