Sistema

Cap´ ıtulo 1

Sistemas Lineares e Escalonamento
Antes de iniciarmos nos assuntos geom´tricos da Geometria Anal´ e ıtica, vamos recordar algumas t´cnicas sobre escalonamento de matrizes com aplica¸˜es na solu¸˜o de sistemas lineares. e co ca Na Geometria Anal´ ıtica, veremos entre outras aplica¸˜es, que retas no plano podem ser definidas co por equa¸˜es lineares a 2 vari´veis (da forma ax + by + c = 0 onde x e y s˜o as vari´veis e a , co a a a b e c constantes), que planos podem ser definidas por equa¸˜es lineares a 3 vari´veis (da forma co a ax + by + cz + d = 0 onde x, y e z s˜o as vari´veis e a , b, c e d constantes), que uma reta no espa¸o a a c pode ser dada como intersec¸˜o de dois planos e portanto, como solu¸˜o de um sistema de duas ca  ca a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 equa¸˜es a 3 vari´veis (na forma co a ). a x + b y + c z + d = 0 2 2 2 2 Assim, uma boa compreens˜o de sistemas lineares e escalonamento vem de aux´ ` boa a ılio a condu¸˜o dos estudos futuros. ca Come¸aremos com um exemplo: c 2x + y + z = 8    (∗) x + y + 4z = 15     3y + 2z = 9

Este sistema ´ um sistema de 3 equa¸˜es lineares a 3 vari´veis. Geometricamente, cada equa¸˜o e co a ca e pode ser interpretada como um plano do espa¸o. Uma solu¸˜o deste sistema ´ uma terna x = x0 , c ca y = y0 , z = z0 de n´meros reais, que satisfaz simultaneamente as 3 equa¸˜es. Por exemplo, x = 2, u co y = 1 e z = 3 ´ uma solu¸˜o do sistema. Podemos ainda dizer que (x, y, z) = (2, 1, 3) ´ uma e ca e solu¸˜o. Na interpreta¸˜o geom´trica, o a solu¸˜o obtida ´ a intersec¸˜o dos 3 planos dados, no ca ca e ca e ca 1

2 caso, exatamente o ponto P = (2, 1, 3).   2 1 1     A matriz dos coeficientes desse sistema ´ dado por A = 1 1 4 e a matriz ampliada do e   0 3 2   2 1 1 8     sistema ´ A = 1 1 4 15. e   0 3 2 9     8 x         Escrevendo B = 15 , e X = y  temos que o sistema linear original ´ equivalente ` equa¸˜o e a ca     9 z matricial AX = B:       2 1 1