Método dos gradientes e gradientes conjugados

Tanto o método dos gradientes como o método dos gradientes conjugados são métodos iterativos para solução de sistemas lineares. Para compreendê-los é necessário conhecer o processo de relaxação explicado resumidamente a seguir: Dado um sistema linear Ax + b = 0 , onde A é positiva definida (para todos menores principais Ak , det(Ak) > 0) e, x e b são vetores. Se v é uma aproximação da solução então: r = Av + b é chamado resíduo. O objetivo é fazer com que o resíduo se anule. Para isso, tomamos a função quadrática : F(v) = ½ (Av,v) + (b,v) Após algumas operações envolvendo esta função, concluímos que Av + b = 0 = grad F (v). Mas, desde que Av + b = r , podemos concluir que grad F (v) = r. Portanto, o objetivo é obter grad F (v) = 0, pois assim teremos r = 0. O príncipio básico do processo de relaxação consiste em escolher uma direção p e variar v nessa direção até F(v) atingir o ponto de mínimo, encontrando assim, a solução do sistema. Um parâmetro t é selecionado de tal forma que F é mínimo. Assim : a) Método dos Gradientes Dado um sistema com a matriz A positiva definida, construímos a função quadrática F(v). Para este método a direção p de relaxação é definido por: E temos que: Neste processo os resíduos consecutivos são ortogonais. Assim temos que: Concluindo, dados v(0) e Е (precisão), seguimos os seguintes passos para a implementação do algoritmo: caso contrário, b) . b) Método…

MÉTODO DOS GRADIENTES CONJUGADOS (Métodos Numéricos – Maria Cristina C. Cunha) Os métodos gradientes conjugados têm sido estudados a partir da década de 50, motivados pela solução de sistemas provenientes da discretização de equações diferenciais parciais e viabilizados pela entrada dos computadores nos cálculos científicos. Vários autores citam os trabalhos de Hestenes e Stiefel, de 1952, como base do que foi desenvolvido posteriormente. Consideraremos que a matriz do sistema…

Solução de Sistemas Lineares Decomposição LU Método de Gauss-Seidel Método dos Gradientes Conjugados Introdução: O projeto aqui descrito consiste na implementação de três diferentes métodos para a resolução de sistemas lineares da forma Ax=b: decomposição LU; método de Gauss-Seidel; e método dos gradientes conjugados, realizados em Matlab. O principal objetivo do trabalho é comparar os três métodos em aspectos como o tempo de execução, e no…

Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Sistemas lineares Método dos Gradientes Conjugados 21 Nov 2008 . 15:31 . 16:46 Relembrando: método dos gradientes Idéia básica. Para A simétrica > 0: O vetor x que resolve Ax=b é o mesmo vetor x que minimiza: F(x) = ½xtAx - btx Por que ? Isso ocorre pois grad(F(x)) = 0 , condição necessária para mínimo implica Ax=b. Além disso, Hessiana = A > 0 . 16:46 Como resolver Min F(x) = ½xtAx - btx ? chutamos um valor…

Entrega dia 25/08/04 Objetivo: Implementar o Método das Diferenças Finitas para a resolução de Problemas de Contorno envolvendo a Equação de Poisson. Comparar a eficiência dos métodos de Gauss-Seidel e Gradientes Conjugados na resolução do sistema pentadiagonal, utilizando formas especiais de armazenamento de matrizes esparsas. Descrição do Problema: Considere o problema de distribuição de temperatura numa placa quadrada de dimensões (0,L) × (0,L), modelado pela equação de Poisson,…

Segundo Trabalho de Cálculo Numérico I – SME-200 “Métodos Iterativos para solução de Sistemas Lineares” Gauss-Siedel SOR Gradientes Conjugados Prof. Luis Gustavo Nonato Alunos: Rubens Abranches Filho Laura Blanco 5713752 4458450 USP-2012 Neste trabalho serão apresentados e implementados computacionalmente, utilizando o programa Matlab, três métodos iterativos para solução de sistemas lineares: método SOR, método de Gauss-Seidel e método dos Gradientes Conjugados. Com base…

ciclos de treinamento quando em quantidade bem elevada também podem favorecer ao sobre ajuste da rede para os dados, também levando a perda da capacidade de generalizar. Para se evitar esta situação, pode-se reduzir o numero de neurônios realizando-se testes para se verificar se a rede ainda mantém a capacidade de prever o sistema e também pode-se dividir os ciclos de treinamentos em conjuntos de amostras para treinamento, para validação e para teste, sendo este método conhecido como…

quadrático das saídas, que será função dos pesos da rede, e, em seguida, deve-se atualizar o vetor de pesos através de alguma regra. A regra utilizada originalmente no algoritmo de retro-propagação é a do gradiente descendente, onde os pesos são atualizados da seguinte maneira: onde representa o vetor de pesos e representa o gradiente do erro médio quadrático e representa um fator de aprendizagem que deve ser escolhido previamente. Desta forma, o algoritmo “caminha”, isto é,…

ANALISE DA UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DO GRADIENTE PARA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Luana Pereira Barreto* luana.any@gmail.com Antonio Almir Araujo Neto** Almirneto87@hotmail.com Josinaldo Roberto Rocha Gomes*** rocha.gnulinux@gmail.com Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA 59015-000, Campus Angicos, RN www.ufersa.edu.br Palavras-Chaves: Sistema de equações lineares, Método do gradiente, Métodos iterativos. Resumo: Este artigo apresenta uma…

ANHANGUERA EDUCACIONAL S.A. Faculdade Anhanguera de Anápolis Curso de Ciência da Computação Brenner Rangel Cardoso Santos Irlando da Silva Campos Jonathan Soares Martins Rodrigues Lucas Constante ESTUDO E ANÁLISE DE MÉTODOS ITERATIVOS PARA SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES GRANDES E ESPARSOS Anápolis 2014 Brenner Rangel Cardoso Santos Irlando da Silva Campos Jonathan Soares Martins…