Álgebra Linear I

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de
Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Primeira Avaliação a Distância de Álgebra Linear I - 18/03/2006
Gabarito

1ª Questão.
(a)
Falsa.
5 
 −2
1 0
1 5 
3  , B −1 =  1 0  ,
 e B = I2 = 
 . Então, A −1 =  3

Considere A = 
1 2 
0 1
0 1

−1 
 1






3
 3

 2 5
=
 1 3




−1

(A + B)
(b)

−1

5  1 0  1
 −2
 3 − 5
3 + 
= 3
 e A −1 + B −1 =  3
=
−1 2 
−1   0 1   1
 1


  3
3 
 3

5 
3.
2 
3

Falsa.

− 1
4 7
3 1
−1  2
−1  2 − 7 
Considere A = 
 5 2  e B =  1 2  . Então, A =  − 5 3  , B =  − 1 4  ,















39 − 23 
− 18 
−1 −1  5

( AB )−1 = 
 − 22 13  e A B =  − 13 47  .







(c)

Verdadeira, pois InIn = In.

(d)

Verdadeira.
Se A é simétrica e inversível, At . A −1 = I . Daí,

(At A−1 )t = (A−1 )t A = I . . Ou

( )t

seja, A −1 = A −1 . Logo, A −1 é simétrica.
(e)

Verdadeira.
Se AB é inversível, existe uma matriz X talque (AB)X = X(AB) = I. Então,
A(BX) = I e (XA)B = I. Logo, A e B são inversíveis.

(f)

Verdadeira.
Suponha A inversível e que BA = CA. Sendo A inversível, existe X tal que AX

= XA = I.
Daí, B = BI = B(AX) = (BA)X = (CA)X = C(AX) = CI = C.
(g)

(h)

Falsa.

1 2 
 − 2 − 2
 e B=
 . Temos que AB = 0 e B ≠ 0 .
Sejam A = 
1 2 
 1
1 




Falsa.
Uma condição necessária para que um subconjunto de um espaço vetorial seja seu subespaço é que o elemento neutro do espaço pertença a ele.
Note que (0,0,0) não pertence à S.
Lembre que esta não é uma condição suficiente!

(i)

Falsa, pois ln x 2 = −2 ln 2.1 + 2 ln 2 x .

(j)

Falsa, pois (1,−1,0,0 ) = −1(0,1,0,−1) − 1(0,0,−1,1) − 1(− 1,0,1,0 ) .

2ª Questão.

1

2
Solução. 
1

1


2