Lista de Álgebra Linear - UFPE - Unidade I
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´UFPE - Álgebra Linear: 1a Avaliação 2011.1
Questao 1. Considere a matriz abaixo, onde a e b s˜ao n´ umeros reais, como a matriz ampliada de um sistema linear.
1 −2
3 −1
1 −3 −1
−2
5
b
a
1
a) (1.0) Determine para que valores de a e b o sistema n˜ ao possui solu¸c˜ao.
b) (1.0) Resolva o sistema para a = −2 e b = 0. Determine a nulidade da matriz de coeficientes.
3 0 1
1 0 1
e C=
0 2 0.
1 0 1
Quest˜
ao 2. Sejam as matrizes B =
0 2 0
1 0 3
a) (0.5) Ache os determinantes de B, C e BC.
b) (0.5) Determine se BC ´e invers´ıvel.
c) (1.0) Obtenha a inversa de BC, se invers´ıvel.
Quest˜
ao 3. Seja U = {(x, y, z) ∈ R3 / x + y = 0}
a) (0.5) Mostre que U ´e subespa¸co do R3 .
b) (1.0) Encontre uma base para U.
c) (0.5) Complemente esta base para uma base do R3 .
Quest˜
ao 4. Considere U e W os subespa¸cos de R4 definidos abaixo:
U = {(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y − z + 2t = 0} e
W = [(0, 1, −1, −1), (0, 1, 1, 0), (0, 3, −1, −2)].
a) (1.5) Determine bases para U e W , e indique as dimens˜oes.
b) (1.5) Determine as dimens˜oes de U ∩ W e U + W .
Quest˜
ao 5. Seja V = P2 = {a0 + a1 x + a2 x2 | ai ∈ R, i = 1, 2, 3} e β =
{1 + t, 1 + t + t2 , t + t2 } uma base de V .
a) (0.5) Determine para p(t) = t2 suas coordenadas na base β, isto ´e [p(t)]β .
b) (0.5) Dadas as coordenadas [q(t)]β =
1
−1
1
8 de abril de 2011