Lista De Exerc Cios I Algebra Linear
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2 páginas
1Lista I
1. Determine o valor de x sabendo que a matriz
2. Sendo A =
1
0
2
x2
2x − 1
0
´e sim´etrica.
, calcule as potˆencias A2 , A3 , A4 e An para um inteiro
1 1 positivo n qualquer.
1 9
. Mostre que a equa¸c˜ao matricial X 2 = A admite
3. Seja A =
0 16 exatamente 4 solu¸c˜ oes e determine-as.
4. Para cada matriz dada a seguir, encontre uma matriz na forma em escada, `a qual a matriz dada
1
2 1
a) −1 0 3
1 −2 1
´e linha-equivalente.
2 −1 3
0
1
4
2
5 b)
1 −5 1
1
4 16 8
5. Mostre que os termos da diagonal principal de uma matriz anti-sim´etrica n × n s˜ ao todos n˜ ao nulos.
6. Mostre que toda matriz triangular inferior e sim´etrica ´e diagonal.
7. Seja A uma matriz quadrada n × n. Definimos o tra¸co de A como sendo a soma dos termos que constituem sua diagonal principal e o denotamos por tr(A). Mostre que tr(AB) = tr(BA) onde A e B s˜ao matrizes n × n.
8. Mostre que se A ´e anti-sim´etrica ent˜ao A2 ´e sim´etrica.
9. Calcule as inversasdas seguintes matrizes invert´ıveis:
−1 4 −5
−1 3
a)
b) 0 8 2
0 4
−3 0 1
10. Resolva o sistema linear a seguir calculando a inversa da matriz dos coeficientes (que ´e invert´ıvel) e aplicando a f´ormula X = A−1 B.
2x − y + 5z = 4
7x + z = −1
y + 3z = 0
11. Determine a inversa da matriz A = namento. a
b
c
d
usando o m´etodo de escalo-
2
12.Resolva os seguintes sistemas:
x + 2y − z = 3
a)
2x + 4y − 2z = 4
3x + 6y − 3z = 5
x + 2y
b)
2x + 4y
x + 2y
x
c)
3x
8x
3x
d)
4x
5x
+
2y
−
3z
=
1
+
y
+
z
=
2
+
y
+
6z
=
6
−
z
=
3
− 2z
=
5
+
z
=
9
− 5y
+
2z
=
4
− 3y
+
z
=
3
− 7y
+
3z
=
2
13. Para quais valores de m e n o sistema abaixo possui solu¸c˜ao?
x
x
3x
+
y
−
z
=
1
+
2y
−
2z
=
3
+
3y
+
mz
= n
14. Determine os valores de m e n para os
2x − y