a reta

A Reta

Referˆ encias ´
Geometria Anal´ıtica e Algebra
Vetorial
O Estudo da Reta

Cirilo Gon¸calves J´ unior 10 de dezembro de 2014

Cirilo Gon¸calves J´ unior ´
Geometria Anal´ıtica e Algebra
Vetorial

A Reta

Referˆ encias O Estudo da Reta
→
Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a dire¸c˜ao de um vetor −
v.
−→ −
Um ponto P ∈ r ⇔ AP//→ v −→
→
⇔ AP = t − v , para algum t ∈ R
→
⇔ P = A + t−
v.

−
Se P(x, y , z), A(x1 , y1 , z1 ) e → v = (a, b, c), ent˜ao
(x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + t(a, b, c).
Essa equa¸c˜ao ´e chamada de equa¸c˜ ao vetorial da reta.
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Vetorial

A Reta

Referˆ encias →
O vetor − v ´e chamado de vetor diretor da reta r e t ´e chamado de parˆ ametro. quando t varia de −∞ a ∞, o ponto P descreve a reta r .
Exemplo
Determine a equa¸c˜ao vetorial da reta r que passa pelo ponto A(3, 0, −5)
→
e tem a dire¸c˜ao do vetor − v = (2, 2, −1).
→
Da equa¸c˜ao vetorial da reta r : P = A + t − v ou
(x, y , z)

=

(x1 , y1 , z1 ) + t(a, b, c)

= (x1 + ta, y1 + tb, z1 + tc)

 x = x1 + ta y = y1 + tb
⇒
 z = z1 + tc

(1)

→
−
→
Essas equa¸c˜ oes, nas quais a, b e c n˜ao s˜ao todos nulos (− v = 0 ), s˜ao denominadas equa¸c˜ oes param´ etricas da reta r , que ´e o conjunto de todos os pontos (x, y , z) determinadas por essas equa¸c˜oes quando t varia de −∞ a ∞.
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A Reta

Referˆ encias Exemplo
Determine as equa¸c˜ oes param´etricas da reta r do exemplo (1).
A reta definida pelos pontos A(x1 , y1 , z1 ) e B(x2 , y2 , z2 ) ´e a reta que passa
−→
→ pelo ponto A (ou B) e tem a dire¸c˜ao do vetor − v = AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ).
Obs.
→
→
Se − v ´e o vetor diretor de uma reta r , ent˜ao α− v , com α = 0, tamb´em o
´e.
Das equa¸c˜ oes param´etricas (1), supondo abc = 0, temos: x − x1 y − y1
z