Retas

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 5
RETA

Definição: Seja (r) uma reta que contém um ponto A e tem a direção de um vetor

v , com v ≠ 0 . Para que um ponto X do ℜ3 pertença à reta (r) deve ocorrer que os vetores AX e v sejam paralelos. Assim, existe um escalar t ∈ ℜ tal que: AX = tv ⇒

X − A = tv ⇒ X = A + tv . Esta expressão é chamada de equação vetorial da reta.

Observe que, para escrevermos a equação vetorial de uma reta (r) : X = A + tv , sempre necessitamos conhecer um ponto A de (r) e um vetor v paralelo a ela. O vetor v é chamado de vetor diretor da reta (r) e t ∈ ℜ é chamado de parâmetro. z X

AX

A

v

(r)

y

x

Por um axioma importante da geometria plana, dois pontos distintos, A e B, determinam uma reta. Logo, podemos escrever a equação vetorial da reta quando se conhece dois pontos pertencentes a ela, da seguinte forma: podemos considerar o vetor diretor da reta (r) como sendo o vetor AB ou BA , pois ambos são paralelos a reta (r), assim como podemos escolher qualquer um dos pontos A ou B e escrever que (r) : X = A + t ⋅ AB

ou

(r) : X = A + t ⋅ BA

ou

(r) : X = B + t ⋅ AB

(r) : X = B + t ⋅ BA .
A

AB

B

A

AB

B

(r)

(r)

ou

ainda

50

Por exemplo: considere a reta (r) determinada pelos pontos A(1,3,0) e B(-1,2,1).
Então podemos escrever que (r) : X = A + t ⋅ AB , ∀ t ∈ ℜ ⇒ (r) : X = (1,3,0) + t ⋅ (−2,−11) que é a equação vetorial da reta (r). Assim, para cada valor real do parâmetro t substituído na equação vetorial da reta vamos obter seus infinitos pontos, ou seja:

para t1 = 0 ⇒ X1 = (1,3,0) + 0 ⋅ (−2,−11) ⇒ X1 = (1,3,0) ∈ (r) ; para t 2 = 1 ⇒ X 2 = (1,3,0) + 1 ⋅ (−2,−11) ⇒ X 2 = (−1,4,1) ∈ (r) ; para t 3 = −4 ⇒ X 3 = (1,3,0) + (−4) ⋅ (−2,−11) ⇒ X 3 = (9,7,−4) ∈ (r) ;
Assim por diante.

5.1 Equações da Reta

Equações Paramétricas da Reta

Sejam X(x, y, z) e A(x o , y o , z o ) onde, A é o ponto conhecido da reta e X
representa