Variáveis complexas

ISCTE - IUL

Engenharia de Telecomunicações e Informática
Engenharia de Informática, 1o Ano

Cadeira: Análise Matemática II

Caderno : Análise Complexa

Elaborado de: Rosário Laureano, Helena Soares, Diana Mendes
Departamento de Métodos Quantitativos

Maio de 2011

Capítulo 1

Funções analíticas
1.1

Funções complexas de variável complexa

Consideremos uma função f : D → C, onde D é um subconjunto de C. A função f diz-se uma função complexa de uma variável complexa. Trata-se de uma correspondência que associa a cada elemento z ∈ D um único elemento w no plano complexo (designado por imagem de z por f ou valor de f em z): w = f (z ) = f (x + yi) = u(x, y ) + v (x, y )i, onde u(x, y ) e v (x, y ) são funções reais de duas variáveis reais x e y , designadas por parte real e parte imaginária de f (z), respectivamente. O conjunto D ⊆ C é designado por domínio de f e o conjunto das imagens w é designado por contradomínio de f .

Exemplo 1 Consideremos a função f (z ) = z 2 + 3. Temos f (x + yi) = (x + yi)2 + 3 = x2 + 2xyi − y 2 + 3
¡
¢
= x2 − y 2 + 3 + 2xyi,

e logo u(x, y ) = x2 − y 2 + 3 e v (x, y ) = 2xy . O domínio de f é todo o conjunto C.
¢
¡
Exemplo 2 A função f (z ) = z/ z 2 + 1 tem por domínio o conjunto
Dado que

ª
©
D = z ∈ C : z 2 + 1 6= 0 .

z 2 + 1 = 0 ⇔ z 2 = −1 ⇔ z = i ∨ z = −i, podemos concluir que D = C\ {−i, i} .
1

2

CAPÍTULO 1. FUNÇÕES ANALÍTICAS

Exemplo 3 Seja f a função definida por f (z ) = z 2 − 4z + Re(z ). Então, f (x + yi) = (x + yi)2 − 4 (x + yi) + x = (x2 − y 2 − 3x) + (2xy − 4y )i, e logo u(x, y ) = x2 − y 2 − 3x e v (x, y ) = 2xy − 4y . O domínio de f é todo o conjunto C.
Nota 1 Verificamos que a cada função f (z ) corresponde um par de funções reais de duas variáveis reais, u(x, y ) e v (x, y ), e que o recíproco também se verifica, isto é, f (z ) fica completamente determinada pelas respectivas funções u(x, y ) e v (x, y ).
Exemplo 1 Seja f a função complexa de variável complexa