Funções de variáveis complexas

Vari´veis Complexas a

March 17, 2005

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1.1

N´ meros Complexos u
Motiva¸˜o ca

Resolver a equa¸˜o ca x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = −1 (1.1)

vemos que n˜o existe nenhum x = r ∈ R que satisfa¸a a equa¸˜o. Portanto se faz a c ca necess´rio estender o conjunto dos reais a um conjunto maior na qual a equa¸ao anterior a c˜ tenha solu¸ao. Assumindo que podemos aplicar raiz quadrada em (1.1) obtemos que x = c˜ √ ± −1 a qual n˜o faz sentido no conjunto dos numeros reais, portanto extenderemos este a conjunto a um conjunto maior a equa¸˜o (1.1) tenha solu¸˜o. Desta forma introduzimos ca ca um novo elemento, que denotaremos por i chamada de unidade imagin´ria satisfazendo a √ i2 = −1 (informalmente podemos considerar i = −1). Assim a equa¸ao (1.1) tem c˜ solu¸oes x = ±i. O novo conjunto que cont´m os n´meros reais e a unidade imagin´ria c˜ e u a ´ ser´ denotado por C a qual ser´ chamado de o conjunto dos n´meros complexos. E a a u necess´rio que este conjunto preserve as propriedades aritm´ticas dos n´meros reais, isto a e u ´ produto e soma de dois elementos de C tamb´m dever˜o pertencer a C, assim a extens˜o e e a a natural dos numeros reais ser´ a C := {z = a + ib : a, b ∈ R} a = Re(z) b = Im(z) : parte real de z : parte imagin´ria de z a

Claramente os numeros reais r pertencem a C pois r = r + 0i, tamb´m vejamos que as e potˆncias da unidade imagin´ria pertencem a C: e a i2 = −1, i3 = i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, . . . , i2n = (−1)n , i2n+1 = (−1)n i

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1.2

Opera¸˜es aritm´ticas co e

Podemos informalmente somar e multiplicar n´meros complexos, vejamos quais seriam os u resultados, se z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 , ent˜o a z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) ∈ C z1 · z2 = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ) ∈ C

Portanto podemos estender essas opera¸˜es definindo co z1 + z2 := (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) z1 · z2 := (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 ) Pode-se verificar que estas opera¸oes possuim as propriedades