Funcoes Complexas

FUNÇÕES COMPLEXAS

Conceito: Seja D um conjunto de números complexos (DC) e seja a função f : D  C

De modo análogo às funções reais dizemos que f é uma função complexa de variável complexa (também dizemos que f é uma transformação), sendo: z = x + iy  variável independente de f. x = Re (z)  x é a parte real de z y = Im (z)  y é a parte imaginária de z w = u + iv  variável dependente de f. u = Re (w)  u é a parte real de w = f(z) v = Im (w)  v é a parte imaginária de w =f(z)
D = Dom(f)  domínio de f.
Im(f) = wC / w = f(z) com zD  imagem de f. Lembramos que cada número complexo z = x + iy também pode ser apresentado como o par ordenado (x, y) o que permite representá-lo em um plano coordenado (plano de Argand-Gauss). Assim, a função f se assemelha à uma função do IR2 no IR2 que sabemos não ser representada no espaço.

Com as funções complexas procedemos de modo análogo às funções reais (ou melhor funções vetoriais de duas variáveis) para determinar domínio, imagem, operar com funções, calcular limites, ...

Exemplos:

1) f(z) = z2 – 3z + 4, com D = C (graficamente Dom(f) é todo o plano)
Temos
f(z) = f(x + iy) = (x + iy)2 - 3(x + iy) + 4 = x2 +i2xy – y2 - 3x – i3y + 4 =
= (x2 –y2 –3x + 4) + i(2xy – 3y) = u + iv

de onde as partes reais e imaginárias de f(z) são funções de x e de y. Ou seja,
Re (f(z)) = u = x2 –y2 –3x + 4 = u(x, y)
Im (f(z)) = v = 2xy – 3y = v(x, y)

2) f(z) = É fácil observar que esta função não está definida em z = 2. Assim, o domínio de f é Dom(f) = C - 2 = C - 2 + i0 e que geometricamente seu domínio é todo o plano menos a reta x = 2.

f(z) = f(x +iy) = = = = =
Daí,
u = u(x, y) = = Re (f(z)) e v = v(x, y) == Im(f(z))

3) f(z) = Re (z)

4) f(z) = | z |

Obs: As funções dos exemplos 3 e 4 são funções com variável complexa mas sua imagem é de números reais. Procure entender este fato