Variáveis Complexas

 amsmath

Raízes / Conjuntos no plano
Danielly Bezerra
Miguel do Rosário
01 de Julho de 2013

1
1.1

RAÍZES
Raízes n-ésimas

Um número complexo (z

0) possui n raízes distintas. Diz-se então que

z é raíz n-ésima de um dado número complexo s se zn = s. Para isso, consideremos o número s

0 na sua forma polar: s = r(cosθ + i senθ); e

representemos também em forma polar, a raiz que desejamos encontrar: z = ρ(cosϕ + i senϕ), onde ρ e ϕ serão determinados.
Utilizando a fórmula de De Moivre, a equação zn = s assume a seguinte forma: [ρ(cosϕ + i senϕ)]n = r(cosθ + i senθ) ρn (cos nϕ + i sen nϕ)
Considerando a igualdade de números complexos devemos ter: ρn cos n = r cosθ e ρn sen n = r senθ
Estas equações equivalem a: ρn = r e nϕ = θ ± 2kπ onde k é um inteiro (k ∈ Z), logo ρ é a raíz n-ésima positiva de r, onde ρ= √ n r; ϕ =
2

θ ± 2kπ n Neste caso zk =

√ n s=

√ n r cos

θ + 2kπ θ + 2kπ
+ i sen n n

Se k ≥ n, as raízes se repetem, e basta tomar k = 0, 1, ..., n-1 para esta fórmula produzir n raízes distintas do número complexo s, ou seja, o número complexo s módulo ρ =

√ n 0 possui n raízes n-ésimas z0 , z1 , ..., zn−1 , todas com mesmo
|s| e com argumentos: ϕk =

θ 2kπ
+
; k = 0, 1, ..., n − 1 n n

z1 z2 ϕ

z0

ϕ θ n

ϕ=

2π n ϕ

zn−1

zn−2

1.2

Raízes da Unidade

Considerando s = 1, o ângulo θ assume valor zero. Nesse caso, as raízes n-ésimas da unidade podem ser escritas z = cos

2kπ
2kπ
+ i sen
; k = 0, 1, ..., n − 1 n n

Em particular, quando k=1, a raiz correspondente se denota por ω = cos

2π
2π
+ i sen n n

e utilizando o teorema de De Moivre, vemos que as raízes n-ésimas da unidade são dadas por
1, ω, ω2 , ..., ωn−1
Se representadas no plano complexo essas raízes são os vértices de um poligono regular de n lados. No caso de n = 6, temos:

ω1

ω2

ω0
1

ω3

ω5

ω4

A fórmula geral pode ser escrita assim