Variaveis complexas series

IM442 - Vari´veis Complexas a 5a Lista de Exerc´ ıcios 1 Derivando e integrando a s´rie e 1 = 1−z 1 = (1 − z)2
∞ ∞

zn, n=0 obtenha os seguintes desenvolvimentos, v´lidos em |z| < 1: a
∞

(n + 1)z n n=0 e

log(1 − z) = − n=1 zn , n

onde log(1 − z) ´ o ramo do logaritmo que corresponde a log(1) = 0. e 2 Obtenha os seguintes desenvolvimentos: 1 = 1+z 1 = (1 + z)2 todos v´lidos em |z| < 1. a 3 Usando o teste de Weierstrass, mostre que as s´ries abaixo convergem uniformemente nos e dom´ ınios indicados em cada caso. ∞ n cos(3n) n a) z , em qualquer disco |z| ≤ r < 1. 1 + 5n n=1
∞ ∞ ∞

(−1)n z n ; n=0 n n

1 = (1 − z)2

∞

z 2n ; n=0 ∞

(−1) (n + 1)z ; n=0 log(1 + z) = n=1 (−1)n+1 n z ; n

b) n=1 n − 3 cos(n) 2n−1 z , em qualquer disco |z| ≤ r < 1. 10n2 + 7

ıcios abaixo, obtenha os desenvolvimentos em s´ries de potˆncias, conforme ese e 4 Nos exerc´ pecifica¸˜o em cada caso. Determine os respectivos discos de convergˆncia e represente-os ca e graficamente.
∞

a) n=0 ∞

nz n .

b) n=0 sen h(n)z n .
∞

e e e 5 Obtenha o desenvolvimento em s´ries de potˆncias de z a s´rie sen (z) = n=0 (−1)n 2n+1 z , (2n + 1)!

e verifique que este desenvolvimento ´ v´lido para todo z. e a 6 Diz-se que uma fun¸˜o ´ par (´mpar) se f (z) = f (−z) (f (z) = −f (−z)) para todo z. ca e ı Demonstre que o desenvolvimento de uma fun¸˜o par (´ ca ımpar) em potˆncias de z s´ cont´m e o e potˆncias pares (´ e ımpares). 1