Séries infinitas de termos positivos

Séries infinitas de termos positivos

Teorema


Se todos os termos de uma série infinita forem positivos, a sequência das somas parciais será crescente. Assim sendo, dos Teoremas 12.2.6 e 12.2.9, segue imediatamente o teorema a seguir.



TEOREMA 12.5.1



Obs.: Os teoremas 12.2.6 e 12.2.9 dizem, respectivamente, que uma sequência monótona limitada é convergente e vice-versa.

Exemplo


EXEMPLO 1



Prove que a série é convergente, usando o Teorema 12.5.1:

Teste da Comparação


No exemplo acima, os termos da série dada foram comparados com os de uma série que sabemos ser convergente. Esse é um caso particular do teorema conhecido como o teste de comparação.



TEOREMA 12.5.2

Prova do Teste da Comparação

Exemplo

Teste da comparação com limite


Teorema:



Exemplo 1:

Assim sendo, pelo teste de comparação com limite, segue que a série dada é convergente.



Exemplo 2:



Exemplo 2:



Exemplo 3:

O teste da integral O que é o teste da integral?
É um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possíveis. Como é o teste da integral?
De uma forma mais simples; as vezes não encontramos a soma exata de uma serie, porque geralmente não é fácil calcular o lim Sn.
Vejamos um exemplo:
EX: seja a série 1/ n², com n=1, cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos .



1/n² 1/1² + ½²+ 1/3³+ ¼²+ 1/5².... Com n=1

Não sugere que as somas parciais estão se aproximando de um número próximo de 1,64n, e assim, parece que a série é convergente.

Tabela para explicar o exemplo :

n

Sn= n ½ e i = 1

5

1,4643

10

1,5498

50

1,6251

100

1,6350

500

1,6429

1000

1,6439

5000

1,6447

Gráfico, explicando o exemplo:

Excluindo-se o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será menor do que a área sob a curva y = 1/x2 para x 1, que é o valor da integral 1/x² dx,