Resumo analise matática

a) Critérios de convergência: o critério do Confronto e da Comparação de Razões.

Séries Numéricas; O Conceito de Convergência

Exemplos de somas infinitas surgem muito cedo, ainda no Ensino Fundamental, com o estudo das dízimas periódicas. Por exemplo, a soma

0,1 + 0,01 + 0,001 + .... = 0,111... pode ser interpretada como a soma de uma progressão geométrica (com infinitos termos) de razão , cuja soma é = (veremos mais tarde as

séries geométricas com mais detalhes)

De forma análoga, chamando por exemplo 0,333... = x temos 3, 333... = 10x . Subtraindo-se essas equações ficamos com 9x = 3, ou seja , x = 3/9 = 1/3 . Concluímos daí que

Como pode ser visto no desenrolar da história das séries infinitas, encarar somas infinitas nos mesmos moldes das somas finitas, usando as propriedades das operações, pode nos levar a dificuldades e conclusões equivocadas. Vejamos o seguinte exemplo:

1. A série de Grandi Considere a “soma” S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + .....

Utilizando a propriedade associativa de forma conveniente, podemos obter os seguintes resultados a) S = (1 – 1) + ( 1 – 1) + ( 1 – 1) +.... = 0 b) S = 1 + (– 1 + 1) + ( – 1 + 1) + ( – 1 +1 ) + .... = 1 c) S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1+ ...) S = 1 – S 2S = 1 S = ½ .

Como decidir então? S = 0, 1 ou ½ ?

O que acontece neste exemplo é que as operações que são válidas para somas finitas, como a associatividade, por exemplo, não são válidas em geral para somas infinitas.

b) O critério da Razão.

Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série.
Seja uma série de termos positivos.
Fazendo-se
Se * , a série é absolutamente convergente (portanto converge); * ou ou , a série é divergente; * , o teste é inconclusivo.
Exemplo:
* Seja: * Clasificar * a) * b) tende para zero quando tende para infinito, pois