o número de euler

Etapa 2

Aula-tema (Conceito de Derivada e Regras de Derivação)

Passo 1.

O número
A grande maioria dos Números Reais é do tipo irracional. Dentre os infinitos números irracionais, o número PI (π) e o número de Euler (e), são duas constantes de grande importância em diversas áreas científicas e, também, na própria matemática.

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suíço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão:

Devemos notar tende a 1 a medida que tende ao infinito, presente na potência , remete a ideia fundamental do número de Euler.
E esta idéia é a essência da construção da tábua de logaritmos desenvolvida por Napier. Esta representação do número de Euler, associada à escrita de uma soma de infinitos termos, permite abordar uma série, que parece ser convergente.
Para verificar esta outra conjectura, inicialmente determinamos um limite inferior. Isto pode ser feito pelo uso de desigualdades, em relação a cálculos numéricos simples, uma importante ferramenta a ser mais explorada:

Para determinar se existe um limite superior para o número de Euler, tem-se que:

Retomando a série temos:

Logo,

Onde ,uma progressão geométrica de razão igual a ½ , e sua soma infinita tende a 1, usando este fato e retomando a equação (4) temos,

Assim o número de Euler é convergente e fica entre os números
Esta expressão permite aproximar o número de Euler, um número irracional, a