Métodos da eliminação de gauss e fatoração lu

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MÉTODOS DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS E FATORAÇÃO LU (POR GAUSS E DOOLITTLE)

Crifer S. Schumacker [e-mail] Universidade Estácio de Sá (UNESA), Engenharia de produção – Nova Friburgo, RJ, Brasil
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Resumo

Neste trabalho será apresentado o método da eliminação de Gauss que consiste em transformar o sistema linear original em um sistema linear equivalente, com a matriz dos coeficientes triangular superior, ou seja, Ax=b num outro A’x=b’, para isto são realizados operações elementares sobre linhas no sistema Ax=b transformando-o em um sistema escalonado equivalente e resolvendo-o por substituição reversa. Também será apresentada a fatoração LU por Gauss e Doolittle, Por esta técnica, uma matriz A é decomposta como o produto de duas matrizes L e U, sendo L uma matriz triangular inferior e U, uma matriz triangular superior, isto é: A = L.U. Desta forma, podemos reescrever o sistema Ax = b na seguinte forma: Ax = (L.U)x = L.(Ux) = b. Fazendo-se Ux = y podemos resolver o sistema Ax = b.

Introdução

A resolução deste sistema pelo método de Gauss envolve duas fases distintas. A primeira, chamada de fase de eliminação, consiste em transformar o sistema dado em um sistema triangular superior. A segunda, chamada de fase de substituição, consiste em resolver o sistema triangular superior através de substituições retroativas.

MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS

Considere o sistema linear dado. Em primeiro lugar montemos a matriz aumentada

A11⋯A1n | B1⋮⋱⋮An1⋯Ann | Bn

1º Passo: A Matriz Aumentada

3x1 + 2x2 + 4x3 = 1
X1 + x2 + 2x3 = 2
4x1 + 3x2 – 2x3 = 3

Então a matriz aumentada ficará assim:

A = 324 | 1112 | 243-2 | 2

As três primeiras colunas desta matriz coincidem com as colunas da matriz do sistema e a última coluna é a dos termos da direita do sistema de equações lineares. Usaremos o pivoteamento, e explicarei em seguida como