Modulo 12 Derivadas

Módulo 12 – Derivadas

IESB – Instituto de Educação Superior de Brasília
Engenharia e Ciência da Computação
Cálculo 1

Módulo 12 – Derivadas
Definição: A derivada de uma função f é a função f’ definida por f ' ( x) = lim

h→ 0

f ( x + h ) − f ( x) h desde que esse limite exista.
Notação:

• df dy d ,
, f ' ( x) , Df (x) , y , y' , D x f (x ) , f ( x) dx dx dx OBS:(1) Quando f ' ( x) existe, dizemos que f é diferenciável em x, ou que f tem uma derivada em x. Se o limite não existe, então f não é diferenciável em x .
(2) Uma definição alternativa de derivada em um ponto x=a é f ( x ) − f (a ) f ' ( a ) = lim x→ a x−a (3) Uma função é diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se f ' ( x) existe pra todo x em (a, b).
(4) Uma função é diferenciável em um intervalo fechado [a, b] se f ' ( x) existe pra todo x em (a, b) e se os limites existem: lim +

h →0

f ( a + h) − f ( a) h e

Exemplo 1: Calcule a derivada f ' ( x) de f ( x ) =

lim −

h →0

f (b + h) − f (b) h 1
.
x−2

Pela definição x − 2 − ( x + h − 2)
1
1
−
f ( x + h) − f ( x )
( x − 2)( x + h − 2) f ' ( x) = lim
= lim x + h − 2 x − 2 = lim h→ 0 h→ 0 h →0 h h h - 12/1 -

Módulo 12 – Derivadas

x −2− x −h + 2
−h
−1
= lim
= lim h →
0
h
→
0 h ( x − 2)( x + h − 2) h ( x − 2)( x + h − 2)
( x − 2)( x + h − 2)
−1
=
( x − 2) 2

= lim

h→ 0

Cancelando o h do numerador com o do denominador.

Exercício 1: Calcule a derivada da função dada usando a definição. Encontre os domínios da função e da derivada.
a) f ( x ) = 5 x + 3

b) f ( x ) = 5 − 4 x + 3x 2

c) f ( x ) = x 3 − x 2 + 2 x

d) f ( x ) = x + x x +1
f) f ( x ) = x −1

e) f ( x ) = 1 + 2x
Definição: Derivadas Laterais
(1) f ' ( x + ) = lim+

f ( x + h) − f ( x ) é chamada de derivada à direita de f. h (2) f ' ( x − ) = lim−

f ( x + h) − f ( x ) é chamada de derivada à esquerda de f. h h→ 0

h→ 0

f ( x + h) − f ( x) 

OBS: Uma função f é derivável  ∃f ' ( x) = lim
 quando as derivadas h →0 h 

laterais existem e são iguais.

Definição: Quando as