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O gradiente e a derivada direcional

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MODULO 1 – AULA 13

Aula 13 – O gradiente e a derivada direcional
Objetivos
• Calcular derivadas direcionais.
• Interpretar geometricamente o gradiente de uma fun¸˜o. ca Introdu¸˜o ca As fun¸˜es reais, de v´rias vari´veis, s˜o pr´prias para descrever deterco a a a o minadas caracter´ ısticas de certos meios. Vocˆ j´ viu, por exemplo, que uma e a fun¸˜o de duas vari´veis z = T (x, y) pode descrever a distribui¸˜o de tempeca a ca ratura de uma chapa de metal. Nesse caso, as curvas de n´ s˜o chamadas ıvel a isot´rmicas. e
Podemos usar uma fun¸˜o w = δ(x, y, z) para descrever a distribui¸˜o ca ca da massa de um certo corpo. Se a fun¸˜o for constante, por exemplo, dizemos ca que o corpo ´ homogˆneo. Podemos chamar δ de densidade de massa. e e
Veja, essas caracter´ ısticas descritas nos exemplos s˜o grandezas escalaa res, que podem mudar de ponto para ponto.
Por essa raz˜o, tamb´m chamamos essas fun¸˜es de campos escalares. a e co Nesse contexto, os conjuntos de n´ s˜o as regi˜es do ambiente onde ıvel a o a condi¸˜o descrita pelo campo escalar, seja temperatura, seja densidade ou ca outra qualquer, n˜o se altera. a Al´m disso, conhecemos a interpreta¸˜o da derivada de uma fun¸˜o e ca ca real, de uma vari´vel real, como uma taxa de varia¸˜o. Por exemplo, se a ca x = x(t) descreve a posi¸˜o de uma part´ ca ıcula numa trajet´ria reta, ent˜o o a v = x (t) ´ a fun¸˜o velocidade, que descreve, em cada instante, como a e ca posi¸˜o da part´ ca ıcula est´ mudando. a Um dos temas desta aula ´ a derivada direcional, uma ferramenta que e permite medir essa varia¸˜o instantˆnea, no caso dos campos escalares. O ca a problema ´ que, no caso de campos escalares planares (fun¸˜es de duas e co vari´veis) e no espa¸o tridimensional, n˜o temos uma dire¸˜o predetermia c a ca nada, como ´ o caso nas fun¸˜es de uma vari´vel real. Na verdade, no caso e co a das fun¸˜es