matriz inversível

Matrizes e Determinantes
Matrizes
MATRIZES INVERSAS (INVERTÍVEIS OU NÃO SINGULARES):
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se det(A) ≠ 0, então existe uma matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :

A ∙ B = B ∙ A = I , onde I é a matriz identidade
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A‐1. Logo, temos:

A ∙ A‐1 = A‐1 ∙ A = I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se det(A) = 0, dizemos que a matriz A é não‐inversível ou singular.

1

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EXEMPLO
Suponha que A = 2 5 e B = 3 ‐5

. Então

1 3 ‐1 2
AB = 6‐5 ‐10+10 = 1 0
3‐3 ‐5+6 0 1

e

BA = 6‐5 15‐15 = 1 0
‐2+2 ‐5+6 0 1

Assim, B é inversa de A e A é inversa de B.

2

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Exemplo: Calculando a matriz inversa de A = 1 2
‐1 3

a b c d
1 2 a + 2c b + 2d = 1 0
‐1 3 ‐a + 3c ‐b + 3d 0 1

a + 2c = 1
‐a + 3c = 0

 5c = 1  c = 1/5 , a = 3/5

b + 2d = 0
‐b + 3d = 1

 5d = 1  d = 1/5 , b = ‐2/5

A‐1 = 3/5 ‐ 2/5
1/5 1/5
3

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Outra forma de calcular a matriz inversa de A = 1 2
‐1 3
1º passo : Calcular o det (A) = 1 2
‐1 3

= 2 + 3 = 5

2º passo: trocar a posição dos elementos da diagonal principal 3 2
‐1 1
3º passo: trocar o sinal dos elementos da diagonal secundária 3 ‐2
1 1
4º passo: dividir todos os elementos pelo det(A)
A‐1 = 3/5 ‐ 2/5
1/5 1/5