Matriz Inversa

Profa. Rosely Pestana

MATRIZ
INVERSA

• DEFINIÇÃO1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que a matriz A é inversível (ou invertível) se existe matriz B, tal que:
AB = BA = In (matriz identidade)
A matriz B é chamada matriz inversa de A e é denotada por A-1.
Se uma matriz não tem inversa, dizemos que a matriz é singular ou não inversível.

EXEMPLO:

Observações:

A inversa da matriz


A 1
 1


2 

4


é a matriz

 2
1
A1   1 1  .


 2
2



i) Se uma matriz A é inversível, então sua inversa é única.

ii) Se uma matriz A é inversível, então

AX = B  X = A-1B
XA = B  X = BA-1

Vamos verificar?

• PROPRIEDADES. inversível. Então:

Seja

A

uma

matriz

i) (A-1)-1 = A ii) (AB)-1 = B-1A-1 iii) (At)-1 = (A-1)t iv) (kA)-1 = (1/k)A-1
•

TEOREMA1. Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
i) Se AB=In, então BA=In. ii) Se BA=In, então AB = In.

• DEFINIÇÃO2. Uma matriz elementar é uma matriz A obtida aplicando-se apenas uma operação elementar sobre as linhas da matriz identidade In.
Exemplos:
1
I2  
0
1
I2  
0
1
I2  
0

0  L1L2  0 1 

  
  E1
1
 1 0
0  L12L1  2 0 
 

  E2
1

 0 1
0  L2L23L1  1 0 
 

  E3
1

 3 1

1

Profa. Rosely Pestana

 1 0 0
 0 0 1

 L1L3 

I3   0 1 0    0 1 0   E4

 0 0 1
 1 0 0




 1 0 0
 1 0 0
L23L2
I3   0 1 0    0 3 0   E5




 0 0 1
 0 0 1




 1 0 0
 1 0 0
L3L3 2L2
 0 1 0    0 1 0   E
I3  

6


 0 0 1
 0 2 1 





Observe o seguinte:
 1 2
A 
3 4




0
E1A  
1
2
E2 A  
0

1  1 2   3


03 4  1
0 1 2  2


1  3 4   3

4

2
4

4

 1 0 1 2  1 2 
E3 A  



 3 1   3 4   6 10 

Se E é uma matriz