Determinantes

Páginas: 6 (1445 palavras) Publicado: 29 de julho de 2015
Universidade Estácio de Sá
Campus Niterói



Álgebra Linear
Turma 3119



PROPRIEDADE DAS DETERMINANTES





Aluno: Renan de Azeredo Lima
Matricula: 20140243842-7




27/04/2015
Determinantes
Definição
1. Se A é uma matriz n, diz-se que um produto de n entradas de A, tais que não há duas de mesma linha ou mesma coluna de A, é um produto elementar da matriz A.
Seja  
com seus respectivosprodutos elementares.
Produto Elementar
Inversões
Par ou Impar
Prod. Elem. c/ sinal
a1 b2 c3
0
par
a1 b2 c3
a1 b3 c2
1
impar
a1 b3 c2
a2 b1 c3
1
impar
a2 b1 c3
a2 b3 c1
2
par
a2 b3 c1
a3 b1 c2
2
par
a3 b1 c2
a3 b2 c1
3
impar
a3 b2 c1
Definição
2. Se A é uma matriz n, define-se o  determinante de A (det A) como o número real obtido da soma de todos os produtos elementares com sinal de A.Corolário da Definição.  O calculo do determinante de uma matriz n envolve uma soma de n parcelas, onde cada parcela é formada por um produto de n fatores.
Além disso o conhecimento da estrutura aritmética do cálculo do determinante torna muito simples a compreensão de suas propriedades. Como segue.
Propriedades dos Determinantes.
O estudo das propriedades, entre outras vantagens, proporciona um atalhopara a obtenção dos determinantes, considerando o grande volume de operações necessárias para sua obtenção.
As demonstrações feitas para matrizes 3 x 3 podem ser generalizadas para o caso n.
Serão usadas as seguintes convenções simbólicas:

Assim as linhas da matriz são “vistas” como vetores
Propriedade
1. O determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas quaisquer de suas linhas.Em símbolos, tem-se:
det (u, v, w) =  det (v, u, w)
Demonstração
A passagem de det (u, v, w) para (v, u, w) faz-se trocando em cada parcela os índices 1 e 2 de posição e deixando 3 fixo. Isto acarreta a passagem da permutação de par para impar e vice-versa, pois acrescentará uma unidade de inversão a permutação. Assim det (u, v, w) =  det (v, u, w)
É evidente que o resultado é válido paraquaisquer duas inversões.
Propriedade
2.  Se uma matriz tem duas linhas iguais, seu determinante é igual a zero. Logo
det (u, u, w) = det (v, v, w) = det (u, w, w) = 0
Demonstração
Se uma matriz tem duas linhas iguais, então se trocando a posição destas duas linhas (o que mantém a mesma matriz), pela propriedade 1 seu determinante deveria mudar de sinal, como a matriz não mudou também não mudou seudeterminante, daí tem-se:
det (u, u, w) =  det (u, u, w) + det (u, u, w) = 0
o mesmo argumento se aplica nos demais casos.
Propriedade
3.  Se multiplicarmos uma linha da matriz por um escalar, o determinante fica multiplicado por aquele número. Assim tem-se:
det(u,v,w) = det(u, v, w) = det(u, v, w) =  det(u, v, w)
Demonstração
Este fato decorre imediatamente da definição, pois cada parcela dodeterminante possui um fator de cada linha. Dessa forma se um escalar foi multiplicado por uma determinada linha ele aparecerá uma vez em cada parcela, sendo passível de ser colocado em evidência.
Corolário da Propriedade
3.  Seja    e
A = det(u, v, w) = det(u, v,  w) = 2det(u, v, w) = 3 det(u, v, w)
Propriedade
4.  Se uma linha da matriz é soma de duas parcelas, seu determinanteé soma de outros dois, em cada um dos quais aquela linha é substituída por uma das parcelas. Assim tem-se:
det(u+u’, v, w) = det(u, v, w) + det(u’, v, w)
Demonstração
Sejam os determinantes:

Logo det(u+u’, v, w) = det(u, v, w) + det(u’, v, w).
Propriedade
5.  Se uma linha é combinação linear das outras duas, o determinante dessa matriz é zero. Em símbolo tem-se:
det(v+w, v, w) = det(u, u+w,w) = det(u, v, u+v) = 0
Demonstração
Considerando apenas o caso da 1a linha como combinação das outras (os outros são análogos):

Propriedade
6.  Tem-se det(u, v, w) = 0 se, e somente se, os vetores u, v, e w são linearmente dependentes, ou seja, um deles é combinação linear dos demais.
Demonstração
Decorre de imediato da propriedade 5
Propriedade
7.  O determinante não se altera se...
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