Matrizes

Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)

Prof a Dr a Ana Paula Marins Chiaradia

MATRIZ INVERSA

Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se det A matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita : A  B  B  A  I (I é a matriz identidade) A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B  A 1 . Logo, temos: AA
1

0, então existe uma

A

1

A  I

Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa. Se det A  0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.

Cálculo da Matriz Inversa

A matriz inversa é calculada pela seguinte relação: A 1  1 AdjA. det A

2 Exemplo: Calculando a matriz inversa de A  6

3 7

5 5

1 10 11 2 Calculando-se o determinante da matriz A: 6 3 7 5 5  136

1 10 11 ..... ..... ..... A matriz de cofatores é calculada como sendo: Cof A  A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta: ..... ..... ..... ..... ..... ..... .

TEIA DO SABER ..... ..... ..... Adj A  Cof A Com isso temos:
T



..... ..... ..... ..... ..... .....

..... ..... ..... A
1



1 det A

AdjA 

1 136

..... ..... ..... ..... ..... .....



27 136 61 136 53 136

1 8 1 8 1 8

5 34 5 34 1 34

.

Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal são todos não-nulos.

Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:

a) A 

3 1

1 1

b)

6 3 2 1

Propriedades 1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior. 2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior. 3) Se A  B é inversível, então A  B