limites

Páginas: 9 (2085 palavras) Publicado: 18 de setembro de 2014

























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Noção de Limite de uma Função
Definição:
Intuitivamente dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para a, se é possível tomar f(x) arbitrariamente próximo de L, desde que tomamos valores de x, x ≠ a, suficientemente próximos de a.
Formalmente, temos: Seja I um intervalo aberto ao qual pertenceo número real a. Seja f uma função definida em I, excepto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos , se para todo existir um tal que se .
Em símbolos temos: .
Observação: Para a definição do limite, quando x tende a a, não é necessário que a função esteja definida em a e pode ocorrer que a função esteja definida em a e O que interessaé o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a e não que ocorre com f quando x = a.

Exemplo 1: Considere a função definida para todo real e

Observe os valores da função f quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. Observe também o seu gráfico.


Esta função se aproxima de 1 quando x cresce ilimitadamente e quando x decresce ilimitadamente. Dizemosque esta função tende a 1 quando x tende a e quando x tende a e denotamos e
Além disso, observando o gráfico da função, podemos dizer que f(x) cresce ilimitadamente quando x se aproxima de 0 por valores menores que 0 e que f(x) decresce ilimitadamente quando x se aproxima de 0 por valores maiores que 0. Neste caso nos referimos aos limites laterais e denotamos, respectivamente, por eExemplo 2: Considere a função definida para todo x real.
Intuitivamente, analisando as sucessões nas tabelas seguintes, podemos dizer que f(x) tende para quando x tende para ou para e denotamos por e
Exemplo 3: Observando o gráfico da função e a tabela a seguir podemos afirmar que o gráfico oscila numa vizinhança de zero sem tender para um limite.

Exemplo 4: Observando o gráfico dafunção definida para todo x real e x 1 e as tabelas abaixo podemos escrever , ou ainda,

À medida que tomamos valores de x cada vez mais próximos de 1 os valores de f(x) tornam-se cada vez mais próximos de 3 independentemente da sucessão de valores de x usados.
Pode-se observar que é possível tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos, desde que tomamos x suficientemente próximo de1
A ideia “tomar o valor de f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos” é traduzido matematicamente pela desigualdade sendo um numero positivo qualquer, tão pequeno quanto se possa imaginar.
A ideia “desde que tomamos x suficientemente próximo de 1 ” significa que deve existir um intervalo aberto de raio e centro a = 1 tal que se x 1 variar nesse intervalo, isto é se então
Propriedades dolimite de uma função
Seja a elemento do intervalo aberto I e em I – {a} estão definidas as funções envolvidas na propriedade.
Se f é uma função definida por f(x) = c, para todo x real, onde c R, então
Se e R e então
Se e então
Obs. Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito de funções, isto é, se e então .
Se e então
Se e então
Obs. Esta propriedadepode ser estendida para um produto de um número finito de funções, isto é, se e então
Se então n para
Se e então
Se então com e ou e n impar;
Se então
Se então
Exercícios
1.

2. seja e ache cada limite
a.
b.
c.
Exercícios propostos

Limites infinitos
Definição:
Seja f uma função definida em um intervalo aberto I contendo a, excepto, possivelmente, ema. Dizemos que, quando x se aproxima de a, f(x) cresce ilimitadamente e escrevemos se, para qualquer número existir tal que se então
Em símbolos temos:

Exemplo: Analisando o comportamento da função f definida por vemos que os valores da função são cada vez maiores à medida que x se aproxima de 1. Em outras palavras, podemos tornar f(x) tão grande quanto desejarmos, isto é,...
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