Limites

CAPÍTULO 3 - LIMITE E CONTINUIDADE

3.1- Noção Intuitiva
A idéia de limite é fácil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma placa metálica quadrada que se expande uniformemente porque está sendo aquecida. Se x é o comprimento do lado, a área da placa é dada por
A = x 2 . Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quando x se aproxima de 3, x 2 se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos: lim x 2 = 9 x →3

onde a notação "x→3" indica x tende a 3 e "lim" significa o limite de.
Generalizando, se f é uma função e a é um número, entende-se a notação lim f (x ) = L x →a

como " o limite de f(x) quando x tende a a é L", isto é, f(x) se aproxima do número L quando x tende a a. x2 − 4
, Df = { x ∈ R / x ≠ 2 }. x−2 x 2 − 4 ( x − 2 )( x + 2 )
Se x ≠ 2 → f ( x ) =
=
= x+2 x−2 (x−2)

Exemplo 1: Seja f ( x ) =

∴ Se x ≠ 2 → f ( x ) = x + 2 x f(x)
1
3
1,5
3,5
1,9
3,9
1,99 3,99

x
3
2,5
2,1
2,01

4

f(x)
5
4,5
4,1
4,01

(

2

)

Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende para 2 é x2 − 4
=4
x→2 x − 2
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação.

igual a 4 e podemos escrever: lim

L+ε
L-ε
a -δ a

a +δ

lim f ( x ) = L x→a Na determinação do limite de f(x), quando x tende para a, não interessa como f está definido em a ( nem mesmo se f está realmente definido). A única coisa que interessa é como f está definido para valores de x na vizinhança de a. De fato podemos distinguir três casos possíveis como segue:
Suponha que lim f ( x ) = L . Então exatamente um dos três casos é válido: x→a Caso 1- f está definido em a e f(a)=L.
Caso 2- f não está definido em a.
Caso 3- f está definido em a e f(a)≠a
Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni

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3.2- Definição Formal de Limite