Integrais

UN I T
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MEDIDA DE EFICIÉNCIA DE CÁLCULO I – Parte II
QUESTÕES:
1- Se z 2 = x 2 + y 2 ,
R:

dz 46
=
dt ±13

dx dy dz quando x = 5 e y=12.
=2 e
= 3, encontre dt dt dt € 2- Use a derivação€implícita para encontrar
€
a inclinação da reta que é tangente à curva dada € para o valor especificado de x. xy3 = 8; x = 1
R: y’(1) = -2/3
3- Encontre a derivada da função:

a)

R:

b) f (x) = 3cos 2 (e −x ) R: f (x) = 3cos 2 (e "x ) # f '(x) = "6e "x cos(e "x )sen(e "x )
c) f (r) =

€

1 r −1 f '(r) =
1/ 2
(r −1) (z +1) 3 / 2 r +1!R:

€ 4- Mostrar € que a função y =

5-

a) ∫
Π
2

b) ∫
0

1 satisfaz a equação xy' = y(y ln x −1)
1+ x + ln x

Calcule a integral da função abaixo:
€
xdx
3
x2 3
R
: arctg +c x4 + 3
6
3

cos x dx R :
(1+ senx) 5

2
4
x ln xdx R : x x ln x − x x + c
3
9 senx d) ∫ dx R : ln1 − cos x + C
1 − cos x

c) ∫

€

6- Calcule a area da região limitada pelas curvas

y = x2 e y = x

x3
− 2x 2 +10x +1
7- A função custo mensal de fabricação de um produto é dada por C(x) =
3
e a função demanda mensal (p), do mesmo produto, é dada por P(x) = 10 – x. Qual o preço
€
x que deve ser cobrado para maximizar o lucro? Sabendo que Lucro (L) = Receita (R) –
Custo (C) e a Receita = P. x
€
R: x = 2

8- Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima. R: altura de 4,5m e largura de 9m
9-Um fabricante de caixas de papelão pretende fazer caixas sem tampas a

partir de folhas quadradas de cartão com área igual a 576cm2, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados para cima.
Determinar o lado do quadrado que deve ser cortado para se obter uma caixa com o maior volume possível. R: l =16cm2; h = 4cm
10- Uma lata cilíndrica é feita para receber 1L de óleo. Quais as dimensões da lata, de modo a minimizar o metal gasto na sua fabricação?
R: A área é mínima para um raio r = 3

1
; altura =
2π

1

π3

1
2π