Funções Vetoriais

Aula 5

Funções Vetoriais

Uma função vetorial ou de valores vetoriais é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores.

Por exemplo, F : I  IR  IR3 é denotada por F (t) = (x(t) , y(t) , z(t)) , t I,

onde x(t), y(t) e z(t) são funções reais definidas em I.

O vetor F (t) é representado geometricamente pelo vetor OP, onde O é a origem do IR3 e P é o ponto P = (x(t) , y(t) , z(t)).

Quando F (t) é contínua em I (isto é, x(t), y(t) e z(t) são contínuas), o ponto final P do vetor F (t) = (x(t) , y(t) , z(t)) descreve uma curva C no IR3 ,ou seja, para cada t  I obtemos um ponto P = (x , y , z)  C, onde x = x(t) , y=y(t) e z=z(t).

Estas equações são as equações paramétricas da curva C, onde a variável t é o parâmetro.
Se eliminarmos o parâmetro t nas equações, obtemos uma expressão cartesiana da curva C.

Ex. 1: As curvas C1 e C2 no plano xy de equações

x = t x = t2 C1 y = t2 C2 y = t4

têm a mesma equação cartesiana: y = x2, mas são curvas diferentes. A curva C1 é representada pela parábola y = x2 , x  IR , enquanto C2 corresponde apenas à parte da parábola para x  0.

Ex.2: Seja L a reta do IR3 que passa pelo ponto P0 = (x0 , y0 , z0) e é paralela ao vetor não nulo v = (v1 , v2 , v3). Se P = (x , y , z) é um ponto da reta, então: OP = OP0 + t v , t  IR Logo, uma parametrização para L é:
F (t) = (x0+t v1 , y0 + t v2 , z0 + t v3) , t  IR

E as equações paramétricas são: x = x0+t v1 y = y0 + t v2 z = z0 + t v3

Se v1 , v2 , v3 são não nulos, as equações cartesianas de L podem ser expressas por:

Ex. 3: Considere em IR2 a reta r dada pela equação cartesiana 2x  y = 1

Podemos encontrar equações paramétricas para r de várias maneiras.
Por exemplo, fazendo x = t, temos y = 1 + 2t, e as