Equações exatas não-lineares
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Equações Exatas Não-Lineares de 1ª Ordem Teorema do método: Suponha que as funções , , e , onde os índices representam as derivadas parciais, sejam contínuas na região retangular R: < < e < < . ( , ) ’ = 0 é uma equação exata em IREntão, a equação se, e somente se: ( , ) = satisfazendo: / =
( , ) +
( , ) em cada ponto do IR. Isto é, existe uma função ( , )e ( , )e e / = ( , ) ou ( , ) ( , ) = ( , ).
( , ) =
( , ) =
Se, e somente se,
satisfazem a igualdade
Forma de resolução da EDO pelo método: 1º passo: Verificar se a EDO é exata, para isso: ( , ) = ( , ) é a solução
Se = , existe uma função ( , ) tal que, ( , ) = implícita da EDO.
Agora, é só escolher uma das duas ( ou ) para integrar. Se integrarmos a , obteremos a ( , ) e também uma constante que depende de , a ( ). Se integrarmos a , obteremos a ( , ) e também uma constante que depende de , a ( ). Devemos derivar a ( , ) em relação a variável da , para obtermos a ’. Isolamos a ’ e a integramos, obtendo novamente a . Para obtermos a solução implícita da EDO, é só substituir a encontrada, na função ( , ) que foi integrada, não esquecendo da constante.
Exercício 1: Determine se a equação abaixo é exata. Se for, encontre a solução. ( ( + )
/
)
+ (
(
+
)
/
)
= 0
Com a notação: ( , )= ( ( A equação escreve-se na forma: Calculando as derivadas parciais, M(x, y) =
( )
/
) /
) e ( , ) = (( ( , ) + ( , )
) /
)
= 0.
e
( , )=
(
)
/
Percebe-se que são iguais, daí conclui-se que a equação é exata. Para determinar a função ( , ), é só integrar a ( , )= Dividindo por ( , ) ⇒ (( ( , ) ou a ( , ).
) /
)
e multiplicando por 2, para facilitar as contas, podemos = +
/
resolver essa integral por partes, chamando
/
e
=2
.
⇒
/
⇒−
Portanto, ( , ) =
+ ( ) ( ).
Agora, derivamos a função em relação a , para obter a ( , )=
( ) /
+ ′( ), igualando a
( , )a ( , )e
integrando a ′( ), obtemos:
( )